La paradoja del cumpleaños. ¿Qué apostamos?

¿Qué responderíais si os preguntase que cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de 41? Seguramente, un número no muy alto, como mucho 0'15 (un 15%). Sería interesante que escribierais un número antes de terminar de leer el post y al final, si os ha sorprendido, dejéis un comentario. La llamada paradoja del cumpleaños es un problema probabilístico, tratado de paradoja por la razón de que el resultado correcto contradice por completo a nuestra intuición.

Distribución normal y distribución paranormal XD

El enunciado genérico sería el siguiente: ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de n personas? Supondremos que solo hay 365 días posibles en los que cumplir años (sin años bisiestos ni mayores complicaciones) y que todos son equiprobables (misma probabilidad).

Por supuesto, si n>365 la respuesta a nuestra pregunta es 100%, por lo que a partir de ahora supondremos n≤365. La manera más sencilla de resolver este problema es calcular la probabilidad del suceso contrario, es decir, la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día en un grupo de n personas. A partir de este dato, obtendríamos nuestro resultado restándoselo a 1 (al 100%). Llamaremos a nuestro suceso A y, a nuestro suceso contrario, Ā. La solución del problema sería, entonces, P(A) = 1 - P(Ā). Calculemos, pues, P(Ā).

Puesto que trabajamos con sucesos equiprobables, estamos en condiciones de utilizar la regla de Laplace

La probabilidad del suceso B es el nº de casos posibles en los que ocurre B entre el número de casos posibles.

Nuestro problema se reduce, pues, a calcular el número de casos posibles en los que nadie del grupo de n personas cumpla años el mismo día que otra persona del mismo grupo, y el número de combinaciones posibles en las que pueden nacer n personas.

El segundo número es muy sencillo de calcular, la primera persona del grupo tendrá 365 posibilidades para haber nacido un día u otro, y lo mismo para las demás. Por tanto, si el grupo fuese de 2 personas, tendríamos para cada posibilidad del 1º, 365 del 2º, luego, en total, 365x365 = 365². Es fácil ver que, para n personas, las posibilidades son 365ⁿ.

Para el otro número, se razona de un modo parecido. La primera persona tendrá 365 posibilidades para haber nacido (igual que en caso anterior), pero la segunda ya solo tendrá 364 (todos los días del año menos en el que nació el primero, recordad que queremos que no cumplan años el mismo día), la tercera 363, y así sucesivamente, hasta la número n, que tendrá 365-n+1 posibilidades. Se deduce, por tanto, que el número de combinaciones favorables será 365x364x...x(365-n+1), es decir,

n! se lee "n factorial" y vale n! = nx(n-1)x(n-2)x...x2x1.

Aplicando la regla de Laplace, concluimos que la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día que otra persona en un grupo de n personas es:

Por tanto, la respuesta a nuestra pregunta sería finalmente:

Ahora, si queremos saber la respuesta para un grupo de 23 personas, solo tenemos que hacer n=23 en la fórmula de arriba, obteniendo una probabilidad de aproximadamente 0'507, es decir, ¡un 50'7%!. Pero ahí no queda la cosa, si el grupo es un poco más numeroso, pongamos de 41 personas, ¡la probabilidad es de más del 90,3%! Hala, ya podéis ganaros unas cervezas apostando con vuestros amigos XD.

¿Te ha sorprendido el resultado? ¡Deja un comentario con el número que escribiste al principio!

¡Sigue a nuestra página de facebook!