El rey, arruinado (la leyenda de Sissa).

Existen muchas historias acerca del ajedrez y su origen. La entrada de hoy está dedicada a una de ellas. Cuenta la leyenda que hace varios siglos, reinaba en la India un poderoso hombre llamado Sheram. Tenía a su disposición todas las comodidades, placeres y riquezas, lo que provocó que nada le resultase atractivo. Entonces, anunció que entregaría cualquier recompensa a aquél que lograra acabar con su desesperación.

Respondiendo al anuncio, un día se presentó en la corte un tal Sissa, quién decía haber inventado un juego que alegraría al soberano, el ajedrez (cuyas reglas no necesitamos conocer para entender la historia). Después de explicar a Sheram en qué consistía el juego, este lo probó y quedó maravillado. Cumpliendo con su palabra, llamó a Sissa y le dijo que pidiera la recompensa que quisiese. Sin vacilar, Sissa pidió al rey que se le entregase un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta... y así sucesivamente. Sheram se quedó sorprendido por la aparentemente modesta petición y accedió.Así, Sheram ordenó que se entregase la recompensa a Sissa, pero esta orden no se pudo cumplir, puesto que ni en todo el reino, ni en todo el planeta Tierra se disponía de la ingente cantidad de trigo que se necesitaba.

Tablero de ajedrez con los granos de trigo correspondientes a las primeras once casillas.

Hagamos el cálculo de los granos de trigo que Sissa pidió. Puesto que un tablero de ajedrez tiene 64 casillas en total, es fácil darse cuenta de que el resultado que buscamos es el que se obtiene al realizar la siguiente suma:

,

que es una suma finita de términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo resultado es el siguiente:

La magnitud de este número escapa a nuestra intuición, por lo que haremos unos cálculos que nos permitan vislumbrar esta exageración. Supongamos, pues, que 1000 granos de trigo pesan 40 gramos. Entonces, 1 grano de trigo pesará 0,04 gramos. Multiplicando el número de granos por el peso de un grano, obtendremos el peso total de la recompensa de Sissa:

Es decir, Sheram necesitaba más de 737 miles de millones de toneladas de trigo para pagar la recompensa de Sissa. Teniendo en cuenta que la estimación de la cosecha mundial de trigo para 2014/2015 es de 697,04 millones de toneladas, Sissa se pasó un poquito XD.

Para terminar, solo una cosa más. En algunas versiones, se añade un final completamente diferente al anterior, que consiste en lo siguiente. Sheram, al darse cuenta de que lo que pedía Sissa era imposible de conseguir, mandó llamar al matemático de la corte para que buscase una solución, y este la encontró. Sheram se ofreció a entregar a Sissa no solo la cantidad de trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, sino la correspondiente a infinitas casillas, es decir, la siguiente suma infinita:

El resultado de esta suma se obtenía (según el rey y su matemático) llamando S a la suma y dándose cuenta de que:

De donde resulta, despejando S, que S = -1. Es decir, al final era Sissa quién debía un grano de trigo a Sheram. Por supuesto, en este razonamiento hay un error. ¡Animo a todo aquél que se de cuenta de cuál es a dejar un comentario!

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Si tratamos S = 1 +2S como una ecuación de variable S, al despejar S estamos suponiendo que S toma valores en un cuerpo K (tanto S como 1+2S serían polinomios del anillo K[x]). En particular, estamos suponiendo que S es una variable real. Pero S es infinito, por lo que no se puede tratar como un número real, luego el razonamiento utilizado no es en absoluto válido.

A menudo se utilizan ejemplos como este para desprestigiar a las Matemáticas, dándoles un falso aire de inexactitud. Nada más lejos de la realidad, las Matemáticas son exactas, la inexactitud que pueda aparecer reside en su utilización errónea.