"Rigor Mates", parte IV: Los números reales.

Haciendo un recopilatorio de los capítulos de "Rigor Mates" (puedes verlos aquí: parte I, parte II, parte III), hemos ido ampliando sucesivamente el concepto de número ℕ⊂ℤ⊂, siguiendo un orden lógico, pero no histórico. Hoy nos ocuparemos de dar un paso más, ampliando  (el conjunto de los números racionales) mediante los números irracionales .

Como su propio nombre indica, los números irracionales son aquellos que no son racionales, es decir, que no pueden expresarse en forma de fracción. Ya en la antigua Grecia se sabía de su existencia, cosa que hacía que "se volvieran locos", y no es para menos. Intentad pensar por un momento como un discípulo de Pitágoras. Las Matemáticas que conoces están basadas en la geometría y la medida, y en ellas todo es perfecto e ideal. Pero aquí llega el triángulo rectángulo de catetos unidad y su hipotenusa de √2 unidades, que tienes "perfectamente" dibujada delante de ti, con su medida "exacta" (si quieres ver por qué pongo tanta comilla, deberías leer esta entrada), pero no puedes medirla, y nunca podrás (para saber más sobre este asunto, puedes leer esta otra entrada). He de decir aquí, que esta no era exactamente la situación, ya que el teorema de Pitágoras no se enunciaba como ahora lo conocemos, sino en términos de áreas, pero la reflexión que hemos hecho nos sirve para captar la idea.

Esquematización visual de las sucesivas ampliaciones del concepto de número.

Entonces, sólo nos falta la construcción formal y rigurosa (aunque al final aquí sólo demos la idea de esta construcción, que para nada es rigurosa XD), que esta vez es un poco diferente. En Matemáticas, hay un tipo de sucesiones llamadas de Cauchy que, grosso modo, son aquellas cuyos términos, a partir de uno dado, se aproximan cada vez más. Pues bien, llamaremos límite de una sucesión de Cauchy, si existe, a ese número al que se van acercando sus términos.

El quid de la cuestión está en que, para nuestro problema, consideramos sucesiones de Cauchy formadas por números racionales, cuyo límite podrá ser un número racional o no (y esto es lo importante), en cuyo caso será un número irracional. Y diréis, si si, todo ésto está muy bien pero, ¿cuál es la definición de conjunto de los números reales? Para ello, llamemos C al conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales, y definamos en él la siguiente relación R (que resulta ser de equivalencia):

La sucesión {a_n} y la sucesión {b_n}, están relacionadas si y sólo si la sucesión formada por la diferencia de sus términos tiene como límite 0.

Es decir, estamos relacionando dos sucesiones si ambas tienen el mismo límite. Como hemos mencionado, se demuestra que R es una relación de equivalencia y, por tanto, podemos considerar el conjunto cociente C/R. Pero, ¿qué conjunto es éste? Lo que hacemos al tomar cociente, es hacer indistinguibles aquellas sucesiones que tienen el mismo límite (que puede ser un número racional o irracional), identificando cada sucesión (o, mejor dicho, cada clase de sucesiones) con su límite, este conjunto no es más que el conocido conjunto de los números reales, y se denota como ℝ:=C/R. Como siempre, las propiedades y la estructura conocidas de los números reales, se deducen utilizando razonamientos rigurosos a partir de las de los números racionales y la construcción que hemos hecho.

El famoso número π es irracional. Otro día nos ocuparemos de los imaginarios.

Para terminar, hay que decir que, por supuesto, ésta no es la única manera de construir formalmente los números reales. Como ejemplo, podemos poner la construcción axiomática de Hilbert.

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"Rigor Mates", parte III: Los números racionales.

Siendo fieles a la lógica y al orden natural de las cosas, añadimos un capítulo más a nuestra serie "Rigor Mates", dedicada a los números racionales. En la primera parte hablamos de historia de las Matemáticas, en concreto de los números naturales, desde su descubrimiento hasta su más absoluta formalización en el S.XIX. Algo análogo hicimos en la parte II con los números enteros, y ahora les toca a los racionales.

Como ya hemos comentado, el orden que seguimos es un orden lógico y natural, pero no histórico. Aunque nos asombre al principio, si lo pensamos durante unos instantes, no parece tan sorprendente que "se descubrieran" antes los números racionales (positivos) que los números negativos (esto es, la ampliación de ℕ a ℤ) o, al menos, que éstos se aceptasen como números. Si no estáis de acuerdo conmigo, pensad qué os parece más aceptable, tener media manzana o tener -1 manzanas.

Recupero esta imagen que es muy socorrida XD

Pero esto no es sólo cuestión de lo que a nosotros nos parezca, sino que los hechos así lo confirman. Aunque no se tiene constancia de que las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotámica trabajasen con números negativos, sí que es más que sabido que conocían los números fraccionarios. En el papiro de Rhind se pueden encontrar fracciones de numerador 1, y es que los egipcios descomponían los números fraccionarios en sumas de fracciones de este tipo, siendo 2/3 la única que escribían sin descomponer.

Una vez hecho este repaso a la historia, vayamos al lío. Como dijimos en el anterior "Rigor Mates", los números enteros responden a la necesidad de restar, ya que los números naturales nos restringían a restas del tipo a-b con a>b (es decir, se podría restar 2-1=1, pero no 1-2). Algo parecido pasa con los racionales, que son la respuesta al problema de la división. Hasta ahora podemos dividir a/b sólo si a es múltiplo de b (por ejemplo, se puede dividir 2/1=2, pero no 1/2, y lo mismo con números negativos). Queda justificado, entonces, que es necesario hacer una ampliación de ℤ en la que la ecuación bx=a siempre tenga solución.

Los números racionales pueden tener infinitas cifras decimales, pero éstas son periódicas (repiten un patrón). Los irracionales, sin embargo, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Para ello, se procede de modo parecido a como lo hicimos en la ampliación de ℕ a ℤ. Consideremos, pues, el conjunto ℤxℤ cuyos elementos son las parejas (a,b), siendo a y b números enteros, y definamos en él la siguiente relación R:

De nuevo, análogamente al caso anterior, se demuestra que la relación R es de equivalencia y, por tanto, podemos considerar el conjunto cociente ℤxℤ/R, formado por las clases de equivalencia de las parejas (a,b) (la clase de equivalencia de (a,b) está por todos los (c,d) relacionados con él y, lógicamente, por él mismo). Y os preguntaréis, ¿qué narices está diciendo éste?, expliquémoslo.

Con la notación a la que estamos acostumbrados, una fracción es del tipo a/b (por ejemplo, 1/2, que se lee "un medio") donde a y b son números enteros, es decir, la pareja (a,b) de la que hablamos arriba en realidad sería la fracción a/b, y diréis, si, si, pero, ¿y lo de la relación? Pues, lo de la relación, es la manera de decir que dos fracciones equivalentes expresan el mismo número racional. Por ejemplo, las fracciones 1/2 y 2/4 expresan el mismo número, 0'5; con la notación de arriba, la primera sería el elemento (1,2) de ℤxℤ y la segunda, (2,4), que están relacionados, ya que 1*4=2*2 (si recordáis, éste es el método que nos enseñaron en el colegio para saber si dos fracciones son equivalentes).

Pues bien, denotando  = ℤxℤ/R, queda perfecta y rigurosamente definido el conjunto de los números racionales . A partir de la definición y utilizando las propiedades de los números enteros, se demuestran todas las de los racionales, entre ellas que la terna (, +, *), donde + y * denotan a la suma y producto habitual de números racionales, es un cuerpo. Si recordáis, dijimos que (ℤ, +, *) es un anillo, esto es debido a que todos los elementos de  salvo el 0 tienen inverso para el producto * (el inverso de a/b es b/a), pero no los de ℤ.

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"El sueño de Grothendieck"

El 13 de noviembre del año 2014 muere Alexander Grothendieck, tan solo dos días antes de la redacción de este artículo, y la consternación todavía está en el aire. Es difícil comunicar lo que Grothendieck ha significado para mi, y para tantos otros que han profundizado en su obra, como es difícil divulgar las matemáticas sin caer en los tópicos infantiles que los ajenos le atribuyen.

Para empezar, decir que un matemático no es un buen calculista; bien al contrario, al matemático no le gusta hacer cuentas, prefiere abordar el problema con un método sintético. El problema es que los métodos usados por Grothendieck se escapan tanto de nuestra intuición que es difícil abordarlo sin acudir a ideas preconcebidas o equivocadas. Por ello voy a hablarles de lo que me ha aportado Grothendieck, tanto en el terreno de las matemáticas como del humanismo.

De Grothendieck siempre me atrajo su lenguaje: universo, topos, Etalé, sitio, dibujos de niños, esquema, haz, cohomología cristalina… Imagínense un estudiante de primero de matemáticas que cree poder alcanzar una definición  de “dibujo de niños” tan clara y concisa como la de límite o función continua. La ilusión es descomunal. No importa la pregunta ¿para qué sirve?, como tampoco importa en el arte. Cuando pude llegar a algunas de las definiciones propuestas por Grothendieck, me di cuenta de que la profundidad de tales conceptos iba mucho más allá de la pura definición.

Grothendieck ha reestructurado el lenguaje de las matemáticas a tantos niveles que sus consecuencias están todavía por descubrir. El desarrollo del lenguaje categorial que él propuso, ha aportado a la geometría algebraica herramientas que parecen resolver problemas que antes no podían abordarse, problemas que podemos resumir someramente en la frase “clasificar todos los tipos de espacio posibles”.  Las aplicaciones a la física de este tipo de resultados son incalculables. Por ejemplo, uno de los artilugios que descubrió, la categoría derivada, está siendo ahora considerada como herramienta para estudiar las variedades Calabi-Yau, pieza clave en la teoría de cuerdas, y cuya proyección en tres dimensiones tiene esta pinta:

Se puede leer más sobre su biografía en varias webs. Quizás cabe destacar que su facilidad para descubrir nuevos lenguajes le llevó a desarrollar la teoría de la medida de Lebesgue en el instituto, porque no le convencían las bases del cálculo integral.

Por último decir que gran parte de su obra sigue siendo un misterio. Tiene inéditas más de 20000 páginas, y todavía no se sabe lo que escribió en su retiro en los Pirineos, desde los 90 hasta su muerte. Circulan en la red varios pdfs de sus memorias Recoltes et Semailles, y el estudio sobre los sueños y el pensamiento matemático Le clef des sognes, traducidas al español por Juan Antonio Navarro.

En España su pensamiento tuvo acogida en la licenciatura pensada por el profesor Juan Sancho Guimerá, quien fundó la carrera de matemáticas en Salamanca con unas bases sólidas para poder comprender su obra.

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"Rigor Mates", parte II: Los números enteros.

En el anterior "Rigor Mates", hicimos un rápido recorrido por la historia de las Matemáticas en general, y por la del origen y desarrollo de los números naturales en particular. Como ya dijimos, el cambio fundamental se produce en el S.XIX, época en la cual aparece una autocrítica inédita que producirá que se revisen y reformulen con un rigor impecable tanto las bases sobre las que se apoyaba toda la Matemática, como su desarrollo a partir de ellas. En particular, se da una construcción axiomática de los números naturales, de la que hablamos en "Rigor Mates", parte I: Los números naturales. En la entrada de hoy, hablaremos sobre el proceso análogo que se desarrolla para los números enteros.

Al contrario de lo que ocurre con los números naturales, los números enteros no son anteriores a la civilización, sino que aparecen por la necesidad que ésta (la civilización) tiene de utilizar números negativos. Si bien, como acabamos de decir, los enteros no son tan antiguos como los naturales, tampoco son de anteayer. Las primeras civilizaciones que trabajan con números negativos (y con el 0) son la china, la hindú y la árabe, aunque hay que señalar que sólo "los veían como herramientas", no siendo aceptados como números. En Europa, la ciencia está de capa caída, y las Matemáticas no son una excepción, hasta que se produce un punto de inflexión, quizás, en el S.XIII, en el que se introduce el sistema arábigo de numeración (en realidad los árabes lo tomaron de los hindúes por medio del matemático Al-Khwarizmi). En el S.XIX, al igual que pasa con los naturales, los números enteros y sus propiedades eran sobradamente conocidos, pero faltaba ese punto de rigor inmaculado del que hoy puede presumir la Matemática.

Aunque no lo parezca, un día nos resultó "alocada" la idea de número negativo.

La construcción rigurosa de los enteros no se realiza a partir de axiomas como la de los naturales, sino que se desarrolla a partir de esa base firme que proporciona dicha construcción de los naturales. Sin más preámbulos, vamos a ello.

Consideremos el conjunto ℕxℕ formado por parejas de números naturales. Es decir, un elemento de ℕxℕ será una pareja (a,b), donde a y b son números naturales (por ejemplo, (1,2), (7,3), (102,6),...). Sobre ese conjunto, definimos la siguiente relación R:

En lenguaje "de andar por casa", (a,b) está relacionado con (c,d) cuando se cumpla que a+d=b+c. Y os preguntaréis, ¿y ésto por qué? Si os fijáis, "pasando" b a la izquierda de la igualdad y d a la derecha, nos queda a-b=c-d. Es decir, cada par de números naturales (a,b) estará relacionado con otro (c,d) si ambos definen el mismo número entero a-b=c-d. Por ejemplo, el par (1,2) nos define el número entero 1-2=-1, y un par relacionado con él sería (66,67) (ya que 1+67=2+66), que nos define el mismo número entero 66-67=-1. Ahora, en este párrafo, aunque aclaratorio, el rigor brilla por su ausencia. Para presumir de un mínimo de rigor, escribamos otro párrafo.

Aunque ahora los veas como algo normal, párate un momento a pensar en ello. ¡Ya no son tan "naturales", eh!

La relación así definida, no es una relación cualquiera, sino que se demuestra que es una relación de equivalencia (un tipo de relación que verifica ciertas propiedades llamadas reflexiva, simétrica y transitiva), y dada una relación de equivalencia, se puede considerar el conjunto cociente, en este caso ℕxℕ/R, que se define como el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia por R de elementos de ℕxℕ (la clase de equivalencia de (a,b) está formada por él y por todos los pares de ℕxℕ relacionados con él, así, la clase de equivalencia de (1,2) estará formada por (1,2),(2,3),(3,4),..., y todos tienen en común que definen al número entero -1=1-2=2-3=3-4=...).

Pues bien, denotando ℤ=ℕxℕ/R queda perfectamente definido el conjunto de los números enteros ℤ. A partir de esto, y utilizando las propiedades conocidas de los números naturales, se demuestran todas las propiedades de los números enteros, entre ellas, que la terna (ℤ, + , *), siendo + y * las operaciones habituales de suma y producto, es un anillo, pero eso ya sería otro tema. A pesar de esto, no hay ningún problema en que, en la práctica, se identifique a la clase de equivalencia de (1,2) con el símbolo -1, y así con todos los demás XD

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Sierpinski: ¡los moyennables vuelven a la carga!

Hoy presentamos una paradoja similar a la de Banach-Tarski de la que ya hablamos en una entrada anterior: la paradoja de Sierpinski. 

Primero refresquemos un poco la memoria: la paradoja de Banach-Tarski nos asegura que podemos descomponer la esfera en pequeños trocitos de modo que al reordenarlos de cierta manera obtenemos 2 esferas iguales a la original. Decíamos que esto se explicaba matemáticamente gracias a la propiedad del grupo de isometrías de R³ de no ser "moyennable".

Recordemos que "un conjunto es paradoxal cuando es posible construir una partición del mismo de manera que por medio de alguna transformación de estos trocitos (utilizando la acción de algún grupo) podamos obtener todo el conjunto en su totalidad. Resulta que un grupo es moyennable sii no es un conjunto paradoxal."

Introducimos ahora una nueva noción: "ser super-moyennable". Un grupo G es super-moyennable sii toda parte no vacía de G no es paradoxal.

A la vista de estas definiciones está claro que "super-moyennable => moyennable" o lo que es lo mismo "no moyennable => no super-moyennable".

La pregunta es: ¿existe un grupo moyennable que no sea super-moyennable ? Con tanta palabreja nos perdemos en los razonamientos, pero si nos paramos a pensar en las definiciones veremos cómo esta pregunta revela nuestra paradoja. En efecto, decir que G sea moyennable significa que él NO es paradoxal, es decir, no podemos obtener copias suyas a partir de particiones y reordenamientos. Decir que NO sea super-moyennable es decir que G admita una parte que SÍ sea paradoxal.

Luego la pregunta es: ¿un conjunto que no sea paradoxal admite una parte paradoxal? A priori la respuesta es 'no' puesto que las partes del conjunto no se diferencian tanto del conjunto en sí mismo como para poder encontrar una de la que poder hacer copias al estilo de Banach-Tarski. Ahora bien, la paradoja de Sierpinski es la que nos da sin embargo una respuesta afirmativa y de hecho el ejemplo, un poco astucioso, se puede construir de forma elegante y explícita como se muestra a continuación.

Vamos a tomar como conjunto el plano euclídeo R² y como grupo de transformaciones el grupo de los desplazamientos de R² (es decir, las rotaciones y las traslaciones). Se demuestra que este grupo es moyennable y por tanto R² no es paradoxal. Vamos a exhibir sin embargo una parte paradoxal de R², lo cual demuestra que el grupo de desplazamientos de R² no es super-moyennable dando respuesta a la pregunta planteada.

¡Allá vamos!:

En virtud del teorema de Hermite-Lindemann (o Lindemann-Weirstrass), sabemos que si α es un número real, entonces u:=e^iα es un número (complejo) trascendente sobre los racionales (es decir, que no es raíz de ningún polinomio). La parte de R² buscada la llamaremos S y es precisamente el conjunto de los polinomios en la variable u y de coeficientes naturales, es decir, 

S:=N[u]

(nota para los "rigurosos": S se considera un subcojunto de R² identificando R² con el plano de los números complejos C)

A continuación, debemos construir la partición de nuestro conjunto S con el objetivo de demostrar que es paradoxal. Así, descomponemos S=A ∪ B donde

• A:=polinomios en u con coeficientes naturales y SIN término constante.
• B:=polinomios en u con coeficientes naturales y con término constante distinto de 0.

Ahora el truco está en hacer los desplazamientos adecuados de A y B para que cada uno de ellos nos permita reconstruir por sí mismos el conjunto entero (como explicamos en el caso de la esfera). Estos desplazamientos son los siguientes:

• rotación de ángulo -α, es decir, multiplicar por u^-1. Llamemos r a este desplazamiento.
• traslación por -1, es decir, restar -1. Llamemos t a este desplazamiento.

Según la elección de nuestros trocitos A y B es fácil darse cuenta de que

r(A)=S y t(B)=S 

Además r(A) y t(B) ¡¡siguen siendo disjuntos!! (¿por qué?...) Esto significa exactamente que el conjunto S de R² ES PARADOXAL, ¡como queríamos demostrar!; bueno como quería demostrar Sierpinski...

Os animo a que escribáis en los comentarios el detalle de los cálculos r(A)=S y t(B)=S. Por cierto, ¿para qué necesitamos que la variable 'u' de nuestros polinomios sea un número trascendente?...

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