Las ecuaciones diferenciales

Todo el mundo conoce o, al menos, ha oído hablar de lo que es una ecuación. Sin embargo, el concepto de ecuación diferencial ya no es tan popular, pero quizá éstas sean más famosas, tanto que a menudo aparecen en el cine y la televisión.

Una pizarra repleta de ecuaciones diferenciales en la conocida serie "The Big Bang Theory".

No nos asustemos por la imagen y vayamos paso a paso. Una ecuación es una igualdad (no identidad) entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen valores conocidos y valores desconocidos o incógnitas (representadas por letras, habitualmente por 'x'), y una solución a una ecuación dada es un conjunto de valores que pueden tomar las incógnitas de forma que se verifique la igualdad. Por ejemplo, la ecuación 'x+1=3' tiene solución única 'x=2', pero otras ecuaciones pueden no tener solución, tener varias soluciones o, incluso, infinitas.
Pero, ¿qué es una ecuación diferencial? Si buscamos en el diccionario la palabra diferencial, una de las definiciones que encontramos es: "diferencia infinitamente pequeña de una variable". Pues bien, dada una función f, se define su derivada (supondremos que no hay problemas y que, en efecto, f tiene derivada) como otra función f' que se obtiene a partir de f asignando a cada valor 'a' el valor

Definición de derivada

es decir (¡que nadie se asuste si no entiende la definición!, quedaos con lo que sigue), a partir de una división de diferencias infinitamente pequeñas. O sea, que las ecuaciones diferenciales van a tener que ver con las derivadas.
En efecto, una ecuación diferencial se diferencia (valga la redundancia XD) principalmente de una ecuación usual en que tanto los valores conocidos como las incógnitas no representan valores o números, sino funciones; y en la ecuación no sólo aparecen éstas (las funciones incógnitas), sino también sus derivadas. Dependiendo de si la función o funciones con las que se trabaja son de una o varias variables, la ecuación diferencial se clasifica en ecuación diferencial ordinaria o ecuación en derivadas parciales, respectivamente. Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria sería 'f'(x)=f(x)', y una solución suya sería f(x)=e^x (ya que la derivada de f(x)=e^x es f'(x)=e^x), aunque más general sería f(x)=ce^x (donde c es cualquier valor real).
Pero diréis, ¡ésto no se parece en nada a lo que aparece en la pizarra de Sheldon! Simplemente es debido a un cambio en la notación. Si, en lugar de denotar la derivada de f por f' la denotamos por df/dx (lo que significa derivada de f con respecto a x), podemos escribir nuestra sencilla ecuación f'(x)=f(x) como:

que ya se parece algo más.

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