"Rigor Mates", parte V: Los números complejos.

Hasta ahora, hemos ido ampliando el concepto de número desde los números naturales hasta los reales (ver partes I, II, III y IV de "Rigor Mates") y, hayamos entendido mejor o peor el proceso seguido, sí que "entendemos" (y pongo comillas porque si nos ponemos a darle vueltas, todo es más complicado de lo que parece) bastante bien desde el concepto de número natural hasta el de número real, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales (a pesar de su nombre, éstos también los "entendemos"). Pero ahora llegan los complejos, , y quizá alguno de vosotros ni siquiera haya oído hablar de ellos. Sin embargo, son tan números como pueden serlo los reales, no vamos a discriminarlos.

Siguiendo la línea de justificación que empleamos para dejar clara la necesidad de la ampliación del concepto de número en los anteriores pasos (los enteros daban solución a cualquier ecuación de la forma x+a=b, con a y b naturales; los racionales, a las de la forma ax=b, con a y b enteros; y los reales, a las de la forma x²=a, con a racional positivo), los números complejos dan respuesta a las ecuaciones del tipo x²=a, donde a es un número real cualquiera. Si tenemos que poner un ejemplo, está claro que es x²=-1 que, como sabemos, no tiene solución en ℝ (no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -1, ya que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo o cero). Si recordáis, el problema con los naturales era análogo, teníamos una ecuación como, por ejemplo, x+2=1, que no tenía solución en ℕ (no existe ningún número natural tal que al sumarle 2 resulte 1), y esto lo solucionábamos "inventándonos" un número que se simbolizaba con un signo '-' delante, el '-1' (para este caso particular). Pues bien, volviendo a nuestro problema original, tenemos la ecuación x²=-1, que no tiene solución real pero, ¿y por qué no "inventarnos" un número que la satisfaga? Y os diré, pues ya está inventado, se llama i, y se define como la raíz de -1, es decir, i=√-1. Y así nacen los números complejos.

Ahora ya podemos entender el chiste XD

Algunos estaréis pensando, hay muchos más números negativos, ¿a la raíz de cada uno hay que ponerle una letra diferente? ni mucho menos. Si a es un número real positivo, entonces es fácil darse cuenta de que √-a = √a*√-1 = √a*i. Pero los números complejos no son solamente los que llevan una 'i', sino los de la forma a+b*i, donde a y b son números reales; a se llama parte real y b, parte imaginaria (de ahí la 'i').

Bueno, pues ya le toca al rigor. Si volvéis a leer la última oración del párrafo anterior, es fácil darse cuenta de que un número complejo no es más que un par de números reales (a y b). Así, sin más, se define el conjunto de los números complejos como  := ℝxℝ, asombrosamente sencillo, ¿no?

Como hemos dicho, los números complejos, como mero conjunto, son el plano. Así, podemos representarlos identificando a+bi=(a,b), es decir, la parte real en el eje X y la imaginaria en el eje Y. Si giramos el plano 90º, los imaginarios se convierten en reales y los reales en imaginarios.

Para el que se haya quedado con la mosca, he de decir que la identificación de  con el plano real ℝ² es a nivel conjuntístico, o, como mucho, topológico. En cuanto dotamos a  de sus operaciones habituales de suma y multiplicación, esta identificación ya no tiene cabida. Y otra cosa mariposa, en el sentido que le hemos dado, con los números complejos termina el proceso de ampliación del concepto de número, ya que toda ecuación algebraica tiene su solución en , es decir,  es algebraicamente cerrado.

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