Todos conocemos la famosa teoría
del punto gordo (por un punto exterior a una recta pasan tantas paralelas como
gordo sea el punto), pero fuera bromas, esta cuestión, la de aceptar que por un
punto exterior a una recta pasa una única paralela, ha sido discutida desde que
la enunció Euclides.
Resulta que en la geometría euclídea
esta proposición es cierta, sin embargo podemos hacer diferentes tipos de
geometría dependiendo de si aceptamos que por un punto exterior a una recta no
pasa ninguna paralela (esférica), o que pasan más de una (geometría
hiperbólica). De esto ya se dieron cuenta Riemann y Lovachevsky en el s.XIX,
dando lugar a nuevas formas de pensar las matemáticas, y por consiguiente la
física.
Pero la cosa no acaba ahí, porque
a principios del XX Klein pudo clasificar los distintos tipos de geometría que
se conocían (euclídea, esférica, hiperbólica) como casos particulares de
geometrías proyectivas con distintas métricas o formas de medir. A raíz de esta
clasificación, que propone la geometría proyectiva como “la reina de las
geometrías”, nació el proyecto Erlangen.
Este tratado aporta una nueva forma de
resolver los problemas de geometría, englobando los métodos analíticos y
algebraicos. El programa consiste en considerar no ya el espacio geométrico y
sus objetos en primer lugar, sino el grupo de transformaciones que queremos que
dejen invariante al espacio geométrico. Se puede demostrar que dado este grupo
y su cálculo de invariantes podemos recuperar todas las características de la geometría.
Así la geometría euclídea es aquella que se ocupa del estudio de invariantes
por movimientos rígidos (simetrías, traslaciones y giros), la geometría afín se
ocupa de los invariantes por traslaciones y la proyectiva por proyectividades
(composición de proyecciones).
Esto tuvo consecuencias
extraordinarias en la forma de entender la física; ya que la mecánica clásica
se puede reducir al estudio de invariantes del grupo de Galileo. También se
puede probar la incompatibilidad del electromagnetismo con la mecánica de
Newton, ya que la ecuación de ondas, que explica las ecuaciones de Maxwell es
incompatible con el grupo de Galileo. Para solventar esto se creó de manera
“artificial” el grupo de Lorentz, que dio paso a la formalización de la
relatividad especial (este grupo se puede expresar mediante la métrica de Minkowski). La revolución que supuso el proyecto no se quedó en la física, sino que
en matemáticas tuvo consecuencias tan importantes como el inicio de la teoría
de formas modulares, que permitió a Wiles en 1995 resolver la última conjetura de Fermat.
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