Hasta el infinito...¡y más allá! (II)

Aquí estamos una semana más y hoy continuamos la discusión sobre los infinitos, aunque esta vez las lucubraciones del señor Georg Cantor podrán darnos un buen dolor de cabeza...

Comencemos con un conjunto C. Tenemos dos posibilidades: o bien tiene un número finito de elementos o bien tiene infinitos elementos. Si el conjunto C es finito, podremos contar sus elementos y al número que obtengamos (que será un número natural) le llamaremos cardinal de C y escribiremos card(C).

En caso de que el conjunto C fuera infinito podríamos hacer el mismo proceso, pero nunca acabaríamos de contar; diremos por tanto que card(C)=∞.

Cuando trabajamos con conjuntos finitos, no tenemos ningún problema: podremos comparar la cantidad de elementos que contienen, o sea, sus cardinales y decidir cuál de ellos es más grande y cuál más pequeño. El problema viene cuando los conjuntos que manejamos son infinitos. En tal situación, ¿cómo narices podremos decidir cuál de ellos es más grande? ¡Pues aquí fue donde Georg Cantor triunfó!

Partamos de nuestra querida intuición y puesto que no disponemos de conjuntos infinitos "palpables" en la realidad, tendremos que echar mano de nuestra capacidad de abstracción. Consideremos el conjunto de los números naturales ℕ, el de los números de toda la vida: el 1, el 2, el 3... (y el "muchos"). Este conjunto es claramente infinito, pero si pensamos en otro tipo de conjuntos numéricos, diríamos: "sí, es infinito pero... yo qué sé, hay más números reales que números naturales, ¿no?" Si dices esto, ¡no vas mal! Por este motivo vamos a llamar ℵ₀ (que se lee "álef 0") al cardinal infinito de los naturales.

Álef es la primera letra del abecedario hebreo.
Los misticismos del alefato quizás hicieron que se utilizara esta letra
para comparar los infinitos de la misma manera que motivaron a Borges...

Como los números naturales son precisamente los más básicos y con los que además contamos los elementos de los conjuntos finitos, este ℵ₀ va a representar (por definición) el cardinal infinito más pequeño posible que pueda poseer un conjunto (cualquiera que se parezca lo suficiente a ℕ). Al cardinal inmediatamente superior, o sea, al infinito inmediatamente más grande lo llamaremos ℵ₁ (que se lee "álef 1").

Antes hemos dicho que los reales serían más grandes que los naturales. Pero más fácil aún, ¿los enteros, ℤ, son más grandes que los naturales? Nuestra querida intuición nos diría: "sí, podríamos decir que hay el doble de enteros que de naturales: están los positivos y los negativos" Pero ¡no es así! Podemos establecer una identificación entre ℤ y ℕ en tanto que conjuntos, de modo que tienen la misma cardinalidad. ¡Y lo mismo ocurre con ℚ y ℕ! por sorprendente que parezca...

Con los números reales, ℝ, sin embargo, la situación cambia y aquí ya sí que hemos pasado a un nuevo infinito más grande, más espléndido y más misterioso que el anterior... pero, ¿este cardinal será ℵ₁? Como mucho, podemos afirmar la siguiente cadena de desigualdades: 

ℵ₀<ℵ₁<= card(ℝ)

Afirmar que ℵ₁=card(ℝ), que sería por otra parte lo que nos empuja a hacer la dichosa intuición, supondría ganarnos la fama de loco si estuviésemos a finales del siglo XIX. En el siglo XXI nos hemos hecho muy modernos y ahora tanto aquellos que defienden esta afirmación como los que la niegan ¡tienen razón! Me explico: se trata de la hipótesis del continuo que afirma que efectivamente ℵ₁=card(ℝ), o sea, que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté comprendido entre el de los naturales y el de los reales. 

Esta hipótesis fue enunciada por Georg Cantor, pero fue K. Gödel quien demostró que es cierta. Ahora bien, varios años más tarde P. Cohen demostraría que la ¡negación! de la hipotésis del continuo es igualmente cierta (esto es que ℵ₁<card(R)).

¿¡Cómo podemos explicar estos resultados!? La respuesta reside en la lógica y la teoría de conjuntos, es decir, en los cimientos mismos de las matemáticas. Más precisamente, así como en la religión se siguen unos dogmas o como en la sociedad nos comportamos de acuerdo a unas reglas básicas; en matemáticas se trabaja con una serie de axiomas con los que podemos argumentar o razonar hasta llegar a demostrar un enunciado dentro de una teoría matemática. Estos axiomas no se imponen de manera arbitraria, sino que se imponen de acuerdo a unos principios primitivos que nos son innatos en tanto que seres humanos (como la noción de conjunto o la de pertenencia).

Se pueden construir diferentes sistemas lógicos, pero el que utilizamos generalmente es el de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF).

Pues bien, el hecho de que tanto la hipótesis del continuo como su negación sean ciertas prueba que dentro del sistema axiomático ZF la hipotésis del continuo es completamente independiente y podemos, por tanto, considerarla dentro de ZF como un nuevo axioma si lo deseamos.

Así, podremos trabajar con un sistema "ZF+hipótesis del continuo" o con un sistema "ZF+No hipótesis del continuo". Obtendríamos dos teorías de conjuntos diferentes y por ende las matemáticas que se deriven de uno u otro sistema diferirán en algunos resultados (¡que quizás desemboquen en dos tipos de matemáticas muy distintas!), de la misma manera que las matemáticas derivadas de ZF sin admitir el Lema de Zorn serían menos atractivas al privarlas del tan elegante teorema de Hahn-Banach (¡y todo lo que de él se deduce!).

Si la hipótesis del continuo nos diera como consecuencia un teorema revolucionario, aunque sólo fuera por su "estética", deberíamos entonces admitirla porque bajo mi opinión las matemáticas nacieron para explicar el Universo: el de los físicos y el de la mente humana; y ambos universos son bellos.

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Hasta el infinito...¡y más allá! (I)

A todo el mundo le resulta extraña la idea de infinito, y no es para menos. En Matemáticas, esta idea está presente por todas partes, aunque aquí nos centraremos en algo concreto (no os perdáis la próxima entrega de 'Hasta el infinito...¡y más allá!'). En esta entrada, hablaremos de "los infinitos" que aparecen en el estudio de límites, lo que nos dejará aún más desconcertados (si cabe), ya que veremos que existen diferentes "tamaños" de infinitos. Sí, has leído bien, hay infinitos "más grandes" que otros (voy a dejar de poner comillas, porque si no, lleno el post XD). Quizá lo más desconcertante de todo es que hay infinitos infinitamente más grandes que otros infinitos. ¿Cómo es eso? Hablemos primero del concepto de límite.

Símbolo que representa al infinito.

El límite es un concepto topológico (pincha aquí para saber qué es un espacio topológico) aunque, para no complicar las cosas, suele definirse sobre un espacio métrico (espacio que cuenta con noción de distancia), ya que es mucho más sencillo de esta forma (he de decir que todo espacio métrico es un espacio topológico, pero no al revés).

Bien, entonces, ¿qué es un límite? Más o menos, nuestra intuición nos da una buena idea de lo que es un límite pero, por supuesto, en Matemáticas hay una definición rigurosa de este concepto. Nosotros nos quedaremos con el caso particular de límite de una función real (función definida sobre los números reales que toma valores reales).

Grosso modo, una función f(x) tiende a un límite L cuando x tiende a c si cuanto más nos acercamos a c, más se acerca f a L. Además, se dice que el límite de una función es ∞ cuando x tiende a c si esta se hace arbitrariamente grande a medida que x se aproxima a c (o -∞ si f se hace arbitrariamente grande en números negativos).

Todo el mundo ve el error en el segundo límite, pero no tantos se dan cuenta del error del primero.

Una vez soltado todo este rollo (sí, lo reconozco XD), pasemos a ver en qué sentido existen infinitos más grandes que otros. Esto es debido a que el infinito no es un número, sino algo más complejo. Por esta razón, no se puede operar con él alegremente. Por ejemplo, no podemos calcular el resultado de  ∞ - ∞, o de ∞/∞ sin más información, puesto que, dependiendo de la situación, su resultado varía (puede tomar cualquier valor). Veamos cómo:

En este caso, ∞/∞ vale 1.

En este otro caso, el resultado es ∞.

Como decíamos, puede tomar cualquier valor:

En conclusión, el concepto de infinito es extremadamente abstracto, lo que provoca que, a menudo, al trabajar con él sucedan cosas que entren en conflicto con nuestra intuición...

Otro día hablaremos de otros tipos de indeterminaciones como 0/0 ó 1^∞.

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Multiplicación de los panes y los peces: ¡Jesús matemático!

Hoy vamos a hablar de una paradoja muy curiosa: la paradoja de Banach-Tarski. Para ello es necesario hablar antes de una propiedad muy interesante de los grupos y muy poco conocida, de hecho no tengo traducción en español para la palabreja en cuestión: "amenability" en inglés o "moyennabilité" en francés (derivada de "moyenne", es decir, "media" o "promedio" en español); como prefiráis.

Muchos de los guionistas de Futurama son matemáticos y físicos,
de ahí los guiños de la serie a la ciencia.

¿En qué consiste esta propiedad? Lo cierto es que no es fácil describir precisamente en qué consiste esta propiedad porque existen cientos de definiciones equivalentes de la "moyennabilité" y que, además, involucran ramas muy diversas de las matemáticas (desde el álgebra más elemental, pasando por la teoría de la probabilidad y llegando al análisis o la geometría diferencial).

Una primera definición podría ser: "un grupo se dice moyennable si admite un tipo especial de medida". La idea original era dar una definición de medida más general que aquella de Lebesgue, sin embargo, no se podían imponer los axiomas de Lebesgue tal cuales para dar la generalización buscada por von Neumann en este caso. Así, con ciertas modificaciones de los axiomas originales se llega a la noción de "moyennabilité". Investigando e investigando se llegaron a dar ciertas caracterizaciones más útiles en la práctica como por ejemplo la de los conjuntos paradoxales, que es la que nos incumbe para la paradoja.

En pocas palabras, un conjunto es paradoxal cuando es posible construir una partición del mismo de manera que por medio de alguna transformación de estos trocitos (utilizando la acción de algún grupo) podamos obtener todo el conjunto en su totalidad. Resulta que un grupo es moyennable si no es un conjunto paradoxal.

¡Ataquemos entonces la paradoja! De forma sencilla, lo que afirma la paradoja de Banach-Tarski es que es posible dividir una esfera en pequeñas piezas (construir una partición), transformar esas piezas -ya sea rotándolas o cambiándolas de posición- y reunir las nuevas piezas (como si de un puzle se tratara) para construir ¡2 esferas idénticas a la esfera de partida!

¿Cómo se explica matemáticamente? La solución está en la propiedad de la que hemos hablado más arriba. Nuestro conjunto es ahora la esfera y lo que afirma la paradoja es que la esfera es un conjunto paradoxal. Ahora bien, para llevar a cabo el proceso de reordenación de las piezas en que hemos descompuesto la esfera necesitamos un grupo de transformaciones elementales que lo haga posible, el grupo buscado en este caso es el grupo de las isometrías de ℝ³. La explicación es entonces que este grupo no es moyennable, luego la esfera es paradoxal con respecto al grupo de isometrías.

Es importante decir una última cosa: el problema que acabamos de plantear es efectivamente una "paradoja" para nuestra intuición puesto que, en términos más físicos o haciendo un análisis más profundo del resultado, lo que estamos diciendo es que es posible duplicar la materia (obtenemos dos esferas a partir de una) sin ninguna duplicación de energía (no hacemos más que reordenar las piezas de un puzle), es decir, creamos algo de la nada; lo cual, de momento, no es posible... Sin embargo, matemáticamente está demostrado que es así, es un hecho; pero es un hecho matemático. Más precisamente, cuando se demuestra el teorema, las piezas en que se descompone la esfera no son piezas "medibles", es decir, no son piezas que podamos observar ni tan siquiera de las que podamos tener una intuición; luego en realidad el teorema no es una paradoja como tal, ya que el teorema afirma la duplicación de la esfera, pero en ningún momento se hace referencia a piezas de las que podamos tener constancia.

Las matemáticas nos ofrecen unos rincones que no podemos ver ni imaginar, pero a los que desearíamos llegar para hacerles un retrato... 

¿Los sucesos imposibles ocurren?

En Probabilidad, se llama suceso imposible a aquel cuya probabilidad es 0. De la misma forma, un suceso de probabilidad 1 es denotado como suceso seguro (aunque estemos más acostumbrados a ver porcentajes, usualmente, la probabilidad se mide de 0 a 1).

Dados de seis caras

Existen varias definiciones de probabilidad. La más "completa" es la definición axiomática, en la que se enumeran una serie de condiciones mínimas (axiomas) que debe cumplir una función para ser una probabilidad. De esto no vamos a hablar, sino de una definición mucho más sencilla (totalmente válida, aunque incompleta), la regla de Laplace. La regla de Laplace es solo aplicable a experimentos que den lugar a sucesos equiprobables (todos tienen la misma probabilidad), y se define como el cociente de los casos favorables al experimento entre los casos posibles. Es decir, la probabilidad del suceso A, P(A), se obtiene de la siguiente forma:

Así, la probabilidad de obtener un 4 en un dado como los de arriba es P(4) = 1/6, ya que de seis casos posibles, solo uno es favorable al suceso obtener un 4.

Imaginemos, entonces, que nuestro experimento consiste en obtener un número real cualquiera entre el 1 y el 2. Es fácil darse cuenta de que existen infinitas posibilidades, ya que hay infinitos números reales entre el 1 y el 2 (por ejemplo, están el 1,1; el 1,11; el 1,111;...). Es decir, el número de casos posibles es infinito. Pero el número de casos favorables a obtener uno en concreto es solamente 1, por lo que la probabilidad sería 1/∞ = 0. Es decir, el suceso de obtener un número en concreto sería un suceso imposible.

Parodia de lo que sería un suceso imposible

Ahora bien, imaginemos que ponemos en marcha el experimento y obtenemos el número 1,6 (tan válido como cualquier otro, escoged el que queráis). La probabilidad de que obtuviéramos este número, como la de cualquier otro, era 0; sin embargo, lo obtuvimos, ocurriendo así el suceso imposible.

Entonces, ¿los sucesos imposibles pueden ocurrir?. Este ejemplo que he puesto no es practicable, ¿cómo llevar a cabo este experimento?. Sería imposible hacer un bombo como el de la lotería que contuviese a todos los números reales entre el 1 y el 2. Podríamos pensar que un superordenador nos permitiría llevarlo a cabo, pero tampoco (ni siquiera sería capaz de dibujar un cuadrado) . Todo ordenador, por potente que sea, tiene una limitación, por lo que no puede albergar un número infinito de números. Mi opinión es, por tanto, que los sucesos imposibles, en teoría, pueden ocurrir, pero no en la práctica.

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