¡Las tazas y los Donuts son la misma cosa!

Por supuesto, todos sabemos que las tazas y las rosquillas son cosas diferentes. A nadie se le ocurriría comerse una taza o echar leche en un Donut (o sí, quién sabe XD). A pesar de esto, desde cierto punto de vista matemático, estos dos objetos son indistinguibles (al final vais a quedar convencidos de que estoy loco...) ¿Cuál es ese punto de vista? El de la Topología.

Taza trasformándose en un toro (un toro matemático), y viceversa.

La Topología no es una ciencia dedicada al estudio de los topos, sino una rama de las Matemáticas. En concreto, aquella rama ocupada de estudiar las funciones continuas, los objetos que estas relacionan y sus propiedades. Dichos objetos se llaman Espacios topológicos y consisten en una pareja formada por un conjunto y una topología (entendida ahora como objeto matemático y no como una rama de las Matemáticas). El problema queda reducido entonces a explicar qué es una topología.

Banda de Möbius.

 Existen dos tipos de topologías, topología por abiertos y topología por cerrados (sí, es "lo de los intervalos", después de todo no era algo tan raro XD). Ambas son equivalentes, hablemos de topología por abiertos. Dado un conjunto C, una topología por abiertos de C es una familia T de subconjuntos (llamados abiertos) de C verificando ciertas propiedades:

• El vacío y el total (C), forman parte de la familia.
• La unión arbitraria de abiertos, es abierta.
• La intersección finita de abiertos también es abierta.

La pareja formada por C y T, se llama espacio topológico.

Ya dentro del mundo topológico, la Homotopía estudia las aplicaciones continuas que pueden "deformarse continuamente" (o transformarse de forma continua) la una en la otra.

Deformación continua de un camino a otro.

Y...¿por qué os suelto todo este rollo? Porque la Homotopía es la que clasifica a los espacios topológicos según el número de "agujeros" que tengan, metiendo en el mismo saco a las tazas y a los toros (los toros matemáticos tienen una forma característica de rosquilla).

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¿Pillará Aquiles a la tortuga?

Seguramente conozcáis la paradoja de Aquiles y la tortuga pero, por si acaso, voy a contar en qué consiste. Se puede contar de muchas formas, yo he elegido la siguiente:

Aquiles, "el de los pies ligeros", compite en una carrera de 1000 metros contra una tortuga, que es 10 veces más lenta que él. Por esta razón, decide dejar al animal una ventaja, pongamos de 100 metros. Todos sabemos que esa ventaja no será suficiente para la tortuga, entonces, ¿dónde está la paradoja?

Aquiles echando cuentas sentado en la tortuga

Pensándolo detenidamente, cuando Aquiles recorra los primeros 100 metros y llegue a donde estaba la tortuga, esta ya no estará allí, sino que habrá recorrido 100/10 = 10 metros. De nuevo, cuando Aquiles recorra esos 10 metros y llegue a donde estaba la tortuga, esta estará a 10/10 = 1 metro de allí, y así sucesivamente, hasta el infinito.

Aquiles intentando alcanzar a la tortuga

Parece, entonces, que Aquiles no llegará nunca a alcanzar a la tortuga pero, ¡todos sabemos que sí la pillará! Ya, y, ¿cómo lo demostramos? Las matemáticas resuelven este problema.

Resulta que, a veces, una suma infinita de términos tiene como resultado un valor finito, si, finito, un número. Este es uno de esos casos. Es fácil ver que la distancia a la salida en la que Aquiles alcanza a la tortuga es el resultado de la siguiente suma infinita:

Está probado que esta serie es convergente. En concreto,

En definitiva, Aquiles alcanza a la tortuga a 111,111... metros de la salida, ¡mucho antes de terminar la carrera!

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Línea de mínima longitud que une dos puntos, ¿línea recta?

Empecemos con una pregunta: ¿cuál es la línea de mínima longitud que une dos puntos? La respuesta sin más información sería: la línea recta. Pero, si pensamos que estamos sobre la superficie de un planeta "esférico" (a partir de ahora supondremos que así lo es, aunque en realidad no lo sea exactamente), ¿cómo ir de un sitio a otro en línea recta? Es prácticamente imposible, a no ser que construyéramos túneles por todas partes. Por ejemplo, para ir desde España a Australia en línea recta, ¡habría que pasar por el centro de la Tierra!

Planeta Tierra visto desde el espacio

Lo que quiero decir es que sobre la superficie de una esfera no hay líneas rectas, por lo que la línea de mínima longitud que une dos puntos de una esfera no puede ser una de ellas. Entonces, ¿qué línea minimiza la longitud?

En matemáticas, hay una disciplina llamada Geometría Diferencial que estudia las llamadas variedades diferenciables. Para que nos hagamos una idea, una variedad diferenciable es algo que localmente (a trocitos) se parece mucho a ℝⁿ (ℝ es la recta real, ℝ² es el plano, ℝ³ el espacio, etc.). Pues bien, la esfera (o la Tierra supuesta esfera), de forma local, "se parece" mucho al plano (no tienes más que echar un vistazo a tu alrededor) y, efectivamente, es una variedad diferenciable.

Proyección estereográfica, que da lugar a la estructura diferenciable usual de la esfera.

¿Por qué os cuento este rollo? Porque la Geometría Diferencial da solución a nuestro problema. Las líneas que minimizan la longitud entre dos puntos de una variedad diferenciable se denominan geodésicas. En la esfera, estas geodésicas son las circunferencias de radio máximo, es decir, los meridianos.

Geodésicas de la esfera

En definitiva, la línea de mínima longitud que uniría dos puntos de una Tierra completamente esférica sería aquel meridiano que pase por ambos puntos.

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¿Existen los cuadrados?

Quizá os sorprenda el título de este post, pero pensadlo bien, ¿alguna vez habéis visto un cuadrado? Ahora es cuando podéis pensar que estoy loco XD.

Las primeras cosas que aprendemos sobre las matemáticas son las figuras geométricas planas (así nacieron las primeras matemáticas rigurosas, de la mano de griegos y egipcios), entre ellas, el cuadrado. Aunque sé que ya lo sabéis, os recuerdo su definición: un cuadrado es una figura geométrica plana con cuatro lados (formados por segmentos, sin curvas) iguales que forman cuatro ángulos iguales (rectos, de 90º).

Seguro que todos habéis dibujado (o, mejor dicho, intentado dibujar) más de uno.

Circunferencia, triángulo y cuadrado (o algo parecido) dibujados a mano

Está claro que las figuras de la imagen no son ni una circunferencia, ni un triángulo ni un cuadrado por varias razones. Pero diréis: ¡eh, que se puede dibujar con regla (o compás)!. Pues sí, podéis, el resultado será aparentemente bueno, pero no lo suficiente. Nada (físico, que se pueda tocar) hecho por el ser humano es perfecto, por lo que no lo es ni la regla, ni el compás, ni el lápiz o el bolígrafo, ni el papel que uséis (menuda geografía tiene una hoja de papel si la miráis a través de un microscopio...).

Por otro lado, hoy en día las nuevas tecnologías ayudan a conseguir unos resultados más profesionales y "perfectos" en todos los sentidos. No hace falta hablar de un software muy desarrollado, ahí está el Paint de toda la vida, en el que podemos dibujar todos los cuadrados que queramos. Pues bien, de nuevo, las pantallas de los ordenadores son imperfectas (están llenas de píxeles, además estos a su vez son imperfectos), y también las impresoras. Tampoco podemos conseguir un cuadrado de este modo.

"Cuadrado" con curiosa frase: "Un cuadrado puede ser la perfecta gráfica representativa de la mente, y la vida humana".

De la misma forma, ninguna ventana que parezca cuadrada lo es en realidad, ninguna tecla de ordenador, ningún cartel, etc. Entonces, ¿existen los cuadrados? En mi opinión sí, al menos la idea de cuadrado. De lo contrario no deberíamos plantearnos esa pregunta sino esta otra: ¿existen las Matemáticas?

Dejo la pregunta abierta, ¡dadme vuestras opiniones!

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La raíz de 2, dolor de cabeza de los griegos.

A todos (o a la mayoría de nosotros) nos enseñaron alguna vez que la raíz cuadrada de un número es aquel cuyo cuadrado nos devuelve el número original, es decir, b = √a  si a = b². Incluso aprendimos un algoritmo (un tanto raro) para calcular las raíces que no se veían a simple vista. Quizá esto os suene de algo:

Algoritmo de la raíz cuadrada

Unas son muy sencillas, como la raíz, o raíces (hablamos de raíces cuadradas, y siempre hay una positiva y otra negativa) de 4, que son 2 y -2; otras son más complicadas, pero exactas, como la de 15129, que es 123 (adelante, compruébalo si quieres); y otras, simplemente, no "existen" (ningún número negativo tiene raíz cuadrada real). Pero hay algunas (en realidad, muchas, infinitas), de las que se "desconoce" su valor exacto, una de ellas es la raíz de 2, √2. Pensaréis, este tío está mintiendo, yo meto el 2 en la calculadora, le doy a la tecla de la raíz cuadrada y me da 1,414213562. Pues bien, elevad ese número al cuadrado (con una calculadora más potente o a mano) y comprobad si sale 2. La respuesta es no, sale un número muy cercano a 2, pero no es 2. La calculemos con la máquina que la calculemos, siempre obtendremos una aproximación, también si la intentamos calcular a mano, moriríamos después de tener miles de millones de cifras decimales, pero no habríamos terminado.
Yo, a estas alturas, me preguntaría, bueno Mario, y ¿dónde está el disparate?, y os respondo: ahora os lo cuento. Resulta que se puede obtener la medida exacta de la raíz de 2. Los griegos la tenían delante, esto es la raíz de 2, exactamente esto, un  trocito de nada, y sin embargo no podemos saber lo que mide numéricamente, tiene cifras infinitas. La concepción idealista que los griegos tenían de las matemáticas chocaba de pleno con situaciones como esta.
Seguro que todos conocéis o habéis oído hablar del famoso teorema de Pitágoras, ese que dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Teorema de Pitágoras

Consideremos entonces un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 1, ¿cuánto medirá su hipotenusa? Sorprendentemente, la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo mide, exactamente, c = √(a² + b²) = √(1+1) = √2.

Representación de la raíz de 2 en la recta real

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¡Las rectas paralelas se cortan!

Desde que éramos muy pequeños, nos han enseñado que las rectas paralelas son aquellas que no tienen ningún punto en común, es decir, que no se cortan y, en cierto modo, así es.

Dos rectas paralelas, r y s.

Como muchos sabréis, también se nos decía al principio que la ecuación x²+1=0 no tiene solución para después decirnos que sí que tiene (además dos), i y -i (i se define como la raíz cuadrada de -1). Se introducían así los números complejos, que son otros tan válidos como los manejados hasta entonces, los reales. Pues bien, no es desbaratado, entonces, pensar que haya diferentes tipos de geometrías, unas en las que las rectas paralelas no se cortan y otras en las que sí.
La geometría que nos enseñan en la educación primaria y secundaria es la euclídea (su nombre se debe al matemático griego Euclides), y en ella las rectas paralelas no se cortan. Pero existen otro tipo de geometrías, entre ellas, la geometría proyectiva, de la que vamos a hablar.
El nombre de geometría proyectiva viene de en lo que consiste grosso modo, en proyectar. Para que nos hagamos una idea, un espacio proyectivo de dimensión 1 (es decir, la recta proyectiva) se consigue al trazar una recta horizontal (en realidad serviría cualquier otra) en el plano e identificar cada recta que pasa por el origen con su punto de corte en la horizontal que hemos trazado:

La recta r se identifica con el punto A

Es fácil ver, entonces, que cada recta que pasa por el origen se identifica con un punto de la recta h (ver imagen), salvo la única recta horizontal que pasa por el origen (que es paralela a nuestra recta h), que no corta a h en ningún punto que podamos ver, pero sí en el infinito. Este punto, entonces, es un punto más de nuestra recta proyectiva, al que llamaremos punto del infinito.
De la misma forma se construye el plano proyectivo (identificando las rectas que pasan por el origen con sus cortes a un plano horizontal fijado), y se obtiene, para este caso, no un punto del infinito, sino una recta del infinito, lugar en el cual se cortarán todas las rectas "paralelas" del plano proyectivo.
Por supuesto, esta construcción no es nada rigurosa, por lo que aquí no he probado nada, pero sí existe una definición rigurosa de espacio proyectivo de la que se deduce con facilidad (una vez conocidas las herramientas matemáticas necesarias) la propiedad a la que está dedicado este post: dadas dos rectas cualesquiera, estas siempre se cortan.

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