Y tú, ¿compras lotería?

Seguro que todos habéis oído eso de "la banca siempre gana", y qué razón tiene la joía frase. Apenas unas horas antes del tradicional sorteo de la lotería de navidad, me encuentro escribiendo esta entrada, con la que no pretendo desilusionar a nadie, aunque hay una muy alta probabilidad (ya que va de probabilidades la cosa...XD) de que te ocurra si sigues leyendo...

Mucha es la gente que se anima en estos días a comprar lotería, incluso gente que durante el resto del año no lo hace, y más en tiempos de crisis (es decir, en tiempos difíciles económicamente hablando), y yo respeto esa decisión, seguramente tomada al dejarse llevar por la ilusión, pero aquí vamos a hablar de razón. Si lo que pretendemos es ganar dinero, ningún, y repito, ningún tipo de apuesta basada en el azar es una buena opción, pero peor es todavía escoger la lotería de navidad. En términos numéricos, la probabilidad de que no nos toque absolutamente nada (ni un céntimo) en la lotería de navidad es de aproximadamente un 85%, pero peor es aún el dato de la probabilidad de perder dinero en nuestra inversión (es decir, si apostamos 20€, recibir algo, pero menos de esos 20€), que es de un 95% (una inversión un tanto mala, ¿no?). Un poquito mejor son los datos de otros sorteos, como la lotería semanal, en la que la probabilidad de perder dinero es del 94% (todo datos aproximados, redondeando decimales), o la del Niño, en la que es tan solo del 92%; aunque también los hay "peores", como la primitiva, donde esta probabilidad es del 98%. En resumen, las loterías (todas) son una muy mala inversión.

Donde dice ayer, entiéndase mañana.

A estas alturas de la lectura pensaréis, sí, vale, pero...¿cuáles son las probabilidades de ganar? Pues bien, si queréis saber las probabilidades de ganar algo (y aquí estamos considerando desde ganar 1 céntimo a que nos toque "el gordo"), no tenéis más que darle la vuelta a los datos anteriores, es decir, la probabilidad de ganar dinero con la lotería de navidad sería de un 5%, en la lotería semanal de un 6%, en la del Niño, de un 8%, y en la primitiva de un 2%; unos datos que, bueno...., no parecen ser tan malos a simple vista, pero recordemos, ¡aquí se está contando la probabilidad de ganar 1 céntimo!. Si lo que nos interesa es ganar un buen pellizco, es decir, "el gordo", los datos sí que son desalentadores, sólo un 0,001% de probabilidades, ¡y no redondeo porque sino tendría que poner 0%!

Dicho todo esto, parece estar bastante claro que la banca es la que gana, pero esto no es todo. De todo lo recaudado en la venta de los números, el Estado se queda con el 30% (lo que ya está considerado en las probabilidades anteriormente dadas, es decir, no les afecta) y, además, después de realizado el sorteo, también ¡se queda con el 20% de los premios superiores a 2500€! ¿Qué significa ésto? Os dejo una viñeta que lo explica muy bien...

Es decir, las loterías y apuestas del Estado son un negociaco, pero no para los que apuestan...

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Del álgebra a la co-álgebra: un camino de Dualidad

La intención de la entrada de hoy es mostrar que las matemáticas ofrecen siempre nuevas perspectivas de lo que era archiconocido obteniendo, sin embargo, un nuevo mundo, nuevos objetos y nueva filosofía.

La dualidad. No haremos aquí un tratado filosófico sobre lo que pueda tratar la "dualidad", pero sí podemos decir que cuando hablamos de la dualidad nos referimos a conceptos complementarios en algún sentido concreto permitiendo explicar lo que sucede en ese plano de la vida. Por ejemplo, el "bien" y el "mal" son conceptos duales y la interacción entre ellos permite desarrollar una teoría sobre la ética, la moral etc. El "alma" y el "cuerpo" también son conceptos duales que permiten en este caso desarrollar una teoría sobre la existencia del ser humano. "Ideas" y "sentidos"; "Dios" y "materia" y muchos otros.

En matemáticas también existe la noción de "dualidad". Aunque aquí no hay una manera canónica de decir qué se entiende por dualidad, sí podemos reconocerla cuando la vemos en cada situación particular. Por ejemplo, cuando "acoplamos" elementos de una cierta estructura para obtener un número (pensemos en la integral del producto de dos funciones; en este caso acoplamos dos funciones por medio de una integral y obtenemos un número). O por ejemplo cuando se obtienen isomorfismos entre objetos siguiendo alguna simetría (dualidad de Poincaré).

Hoy quiero mostraros cómo se puede establecer un camino entre el álgebra y la geometría. Los objetos que obtengamos al final del camino serán duales: uno representando el álgebra y el otro la geometría. ¿Véis? aquí hay algo a lo que llamar "dualidad", pero no sabemos muy bien cómo definirlo...

Consideremos un cuerpo k (pensad en los números reales) y A una k-álgebra (pensad en los polinomios con coeficientes reales), esto quiere decir que en A disponemos de una manera de sumar y multiplicar sus elementos en entre sí verificando algunos axiomas naturales.

En particular, disponemos de una multiplicación asociativa, es decir, de una aplicación, o sea, una regla que asigna a cada par de elementos de A otro elemento de A, a saber el producto:

m: AxA --------> A

tal que mº(mxid)=mº(idxm), es decir, que a(bc)=(ab)c, para todos a,b,c en A.

Igualmente disponemos de un elemento identidad que denotamos 1_A y que verifica por definición 1_Aa=a=a1_A para todo a en A.

También disponemos de un paso al inverso 

i: A -------> A

es decir, la regla que asocia a cada elemento (invertible se entiende) su inverso.

Hasta aquí no nos hemos salido del plano algebraico.

El objeto dual que construiremos se llamará "co-álgebra" y para ver porqué dicho objeto se sitúa dentro de la geometría basta con tomar el conjunto de las funciones de A, o sea, C(A); que es por definición el conjunto de aplicacions del tipo A ------> k. 

Es muy fácil establecer ya la primera dualidad que aparece en juego: ¡¡la flecha de la multiplicaión m se invierte!! y, por tanto, obtenemos en este caso una aplicación del tipo:

m^{^} : C(A) ------> C(AxA)

Ahora, el elemento unidad de C(A) no es otra cosa que la función constante e igual a 1 y que la denotaremos por 1_C(A) : A -----> k.

Pues bien, esta construcción particular - tomando las funciones - podemos ahora (como buenos matemáticos que somos) extrapolarla a una definición más general: una co-álgebra sobre un cuerpo k es un k-espacio vectorial C equipado con dos aplicaciones:

Δ : C ------> CxC (análoga a la aplicación m^{^})
ε : C------> k (análoga a la función 1_C(A))

que se llaman co-multiplicación y co-unidad, respectivamente (e imponiendo, claro está, ciertos axiomas naturales imitando el caso de las álgebras).

Si además admitimos que nuestra co-álgebra C posee también una estructura de álgebra (con una cierta multiplicación y una cierta unidad), entonces diremos que C es una bi-álgebra.

¿Qué pasa con el paso al inverso i del álgebra? Si sobre una bi-álgebra C exigimos la existencia de una aplicación 

S: C------> C (análoga a la aplicación i)

(verificando los axiomas pertinentes), entonces C se llama álgebra de Hopf y una tal aplicación S se llama antípoda de C.

Et voilà !! Hemos conseguido construir nuestro objeto dual partiendo del álgebra pura y llegando a una interpretación geométrica, por dualidad, del objeto obtenido al final de nuestro camino!

Observamos por lo tanto que para nosotros la geometría viene representada por un álgebra de funciones y, efectivamente, esto ya lo estableció Grothendieck con sus esquemas... La idea de que la geometría venga representada a su vez por otro tipo de álgebra permite, como decíamos al comienzo, ampliar la perspectiva clásica de la geometría obteniendo teorías muy interesantes: en la geometría clásica (según la motivación de arriba) el álgebra en cuestión son las funciones del espacio (ya sean continuas, diferenciables, holomorfas); si ahora damos un paso de abstracción y admitimos un álgebra de Hopf asociada a una cierta geometría, obtemos una nueva manera de entender la geometría... Os dejo reflexionar sobre esta cuestión.

Para terminar un último dato: en un anillo en general podemos exigir o no la propriedad de conmutatividad. Pues bien, en una bi-álgebra en general (luego también en un álgebra de Hopf) podemos exigir o no la conmutatividad de C en tanto que álgebra y la co-conmutatividad de C en tanto que co-álgebra. Resulta que no es ¡nada fácil! encontrar un álgebra de Hopf que no sea NI conmutativa NI no co-conmutativa... estos ejemplos son los que se llaman actualmente "grupos cuánticos" y la geometría que representan son la "geometría cuántica" o también llamada "geometría no conmutativa".

Y hasta aquí puedo leer... dejo el suspense para una posible próxima entrada.

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Cuando los fundamentos se tambalean...

Siempre me ha gustado presumir del grado de perfección y armonía que sólo las matemáticas son capaces de alcanzar, pero de vez en cuando viene bien hacer algo de crítica.

En las sucesivas partes de "Rigor Mates" (I, II, III y IV) hablamos de la obsesión por fundamentar las Matemáticas con el más absoluto rigor, surgida en el S.XIX. Pues bien, no mucho más tarde, surgen varios problemas que hacen que estos fundamentos se tambaleen.

El primero de ellos, y uno de los más conocidos, es la paradoja de Cantor. Hacia 1885, Georg Cantor publicó su famosa teoría de conjuntos, en la que, entre otras cosas, se considera por primera vez que existen diferentes tamaños de infinito (si quieres saber más sobre este tema, puedes leer "Hasta el infinito...¡y más allá! (II)"). Poco después, en 1899, él mismo se encuentra con una de las primeras contradicciones. En su teoría de conjuntos, Cantor prueba que, dado un conjunto C, el cardinal de las partes de C, P(C) (conjunto formado por todos los subconjuntos de C), es estrictamente mayor que el cardinal de C, |P(C)|>|C| (es decir, P(C) tiene más elementos que C), hasta ahí bien. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos, M. Entonces, por lo que acabamos de decir, |P(M)|>|M|; pero, por otro lado, P(M) es también un conjunto, luego P(M)⊂M (P(M) está contenido en M), de donde se deduce que |P(M)|≤|M|. Por tanto, se verifican simultáneamente |P(M)|>|M| y |P(M)|≤|M|, ¡lo cual es un disparate!

Otra paradoja famosa es la de Russell, que fue formulada en 1901, de la cual oí hablar por primera vez en el aula de filosofía de las clases de Bachillerato. La forma en la que nos la enunció el profesor es ésta: "la clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas, pertenece a sí misma si, y sólo si, no pertenece a sí misma". Más abajo la tratamos desde un punto de vista matemático, siempre más ordenado y claro (o eso pienso yo XD), pero menos elegante, así que intenta darle unas vueltas antes de continuar leyendo.

Epiménides, el cretense, afirma que todos los cretenses mienten. Si miente, entonces dice la verdad; y si dice la verdad, entonces miente.

En términos matemáticos, consideremos el conjunto N de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, es decir

Así, habrá dos posibilidades, que N no pertenezca a N o, que N pertenezca a N, analicemos ambos casos:

• Si N no pertenece a N, entonces, por la definición de N, N sí pertenece a N, ¡disparate!
• Si N pertenece a N, de nuevo, por la definición de N, N no pertenece a N, ¡otro disparate!

Por tanto, ¡en todo caso se cumple simultáneamente que N pertenece a N y que N no pertenece a N!

Además de estas paradojas, existen otras muchas (unas tienen que ver con las matemáticas y otras no), y os animo a que nos contéis en los comentarios aquellas que conozcáis, yo os dejo con otra bastante curiosa ;)

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