Hasta el infinito...¡y más allá! (II)

Aquí estamos una semana más y hoy continuamos la discusión sobre los infinitos, aunque esta vez las lucubraciones del señor Georg Cantor podrán darnos un buen dolor de cabeza...

Comencemos con un conjunto C. Tenemos dos posibilidades: o bien tiene un número finito de elementos o bien tiene infinitos elementos. Si el conjunto C es finito, podremos contar sus elementos y al número que obtengamos (que será un número natural) le llamaremos cardinal de C y escribiremos card(C).

En caso de que el conjunto C fuera infinito podríamos hacer el mismo proceso, pero nunca acabaríamos de contar; diremos por tanto que card(C)=∞.

Cuando trabajamos con conjuntos finitos, no tenemos ningún problema: podremos comparar la cantidad de elementos que contienen, o sea, sus cardinales y decidir cuál de ellos es más grande y cuál más pequeño. El problema viene cuando los conjuntos que manejamos son infinitos. En tal situación, ¿cómo narices podremos decidir cuál de ellos es más grande? ¡Pues aquí fue donde Georg Cantor triunfó!

Partamos de nuestra querida intuición y puesto que no disponemos de conjuntos infinitos "palpables" en la realidad, tendremos que echar mano de nuestra capacidad de abstracción. Consideremos el conjunto de los números naturales ℕ, el de los números de toda la vida: el 1, el 2, el 3... (y el "muchos"). Este conjunto es claramente infinito, pero si pensamos en otro tipo de conjuntos numéricos, diríamos: "sí, es infinito pero... yo qué sé, hay más números reales que números naturales, ¿no?" Si dices esto, ¡no vas mal! Por este motivo vamos a llamar ℵ₀ (que se lee "álef 0") al cardinal infinito de los naturales.

Álef es la primera letra del abecedario hebreo.
Los misticismos del alefato quizás hicieron que se utilizara esta letra
para comparar los infinitos de la misma manera que motivaron a Borges...

Como los números naturales son precisamente los más básicos y con los que además contamos los elementos de los conjuntos finitos, este ℵ₀ va a representar (por definición) el cardinal infinito más pequeño posible que pueda poseer un conjunto (cualquiera que se parezca lo suficiente a ℕ). Al cardinal inmediatamente superior, o sea, al infinito inmediatamente más grande lo llamaremos ℵ₁ (que se lee "álef 1").

Antes hemos dicho que los reales serían más grandes que los naturales. Pero más fácil aún, ¿los enteros, ℤ, son más grandes que los naturales? Nuestra querida intuición nos diría: "sí, podríamos decir que hay el doble de enteros que de naturales: están los positivos y los negativos" Pero ¡no es así! Podemos establecer una identificación entre ℤ y ℕ en tanto que conjuntos, de modo que tienen la misma cardinalidad. ¡Y lo mismo ocurre con ℚ y ℕ! por sorprendente que parezca...

Con los números reales, ℝ, sin embargo, la situación cambia y aquí ya sí que hemos pasado a un nuevo infinito más grande, más espléndido y más misterioso que el anterior... pero, ¿este cardinal será ℵ₁? Como mucho, podemos afirmar la siguiente cadena de desigualdades: 

ℵ₀<ℵ₁<= card(ℝ)

Afirmar que ℵ₁=card(ℝ), que sería por otra parte lo que nos empuja a hacer la dichosa intuición, supondría ganarnos la fama de loco si estuviésemos a finales del siglo XIX. En el siglo XXI nos hemos hecho muy modernos y ahora tanto aquellos que defienden esta afirmación como los que la niegan ¡tienen razón! Me explico: se trata de la hipótesis del continuo que afirma que efectivamente ℵ₁=card(ℝ), o sea, que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté comprendido entre el de los naturales y el de los reales. 

Esta hipótesis fue enunciada por Georg Cantor, pero fue K. Gödel quien demostró que es cierta. Ahora bien, varios años más tarde P. Cohen demostraría que la ¡negación! de la hipotésis del continuo es igualmente cierta (esto es que ℵ₁<card(R)).

¿¡Cómo podemos explicar estos resultados!? La respuesta reside en la lógica y la teoría de conjuntos, es decir, en los cimientos mismos de las matemáticas. Más precisamente, así como en la religión se siguen unos dogmas o como en la sociedad nos comportamos de acuerdo a unas reglas básicas; en matemáticas se trabaja con una serie de axiomas con los que podemos argumentar o razonar hasta llegar a demostrar un enunciado dentro de una teoría matemática. Estos axiomas no se imponen de manera arbitraria, sino que se imponen de acuerdo a unos principios primitivos que nos son innatos en tanto que seres humanos (como la noción de conjunto o la de pertenencia).

Se pueden construir diferentes sistemas lógicos, pero el que utilizamos generalmente es el de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF).

Pues bien, el hecho de que tanto la hipótesis del continuo como su negación sean ciertas prueba que dentro del sistema axiomático ZF la hipotésis del continuo es completamente independiente y podemos, por tanto, considerarla dentro de ZF como un nuevo axioma si lo deseamos.

Así, podremos trabajar con un sistema "ZF+hipótesis del continuo" o con un sistema "ZF+No hipótesis del continuo". Obtendríamos dos teorías de conjuntos diferentes y por ende las matemáticas que se deriven de uno u otro sistema diferirán en algunos resultados (¡que quizás desemboquen en dos tipos de matemáticas muy distintas!), de la misma manera que las matemáticas derivadas de ZF sin admitir el Lema de Zorn serían menos atractivas al privarlas del tan elegante teorema de Hahn-Banach (¡y todo lo que de él se deduce!).

Si la hipótesis del continuo nos diera como consecuencia un teorema revolucionario, aunque sólo fuera por su "estética", deberíamos entonces admitirla porque bajo mi opinión las matemáticas nacieron para explicar el Universo: el de los físicos y el de la mente humana; y ambos universos son bellos.

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