Hasta el infinito...¡y más allá! (I)

A todo el mundo le resulta extraña la idea de infinito, y no es para menos. En Matemáticas, esta idea está presente por todas partes, aunque aquí nos centraremos en algo concreto (no os perdáis la próxima entrega de 'Hasta el infinito...¡y más allá!'). En esta entrada, hablaremos de "los infinitos" que aparecen en el estudio de límites, lo que nos dejará aún más desconcertados (si cabe), ya que veremos que existen diferentes "tamaños" de infinitos. Sí, has leído bien, hay infinitos "más grandes" que otros (voy a dejar de poner comillas, porque si no, lleno el post XD). Quizá lo más desconcertante de todo es que hay infinitos infinitamente más grandes que otros infinitos. ¿Cómo es eso? Hablemos primero del concepto de límite.

Símbolo que representa al infinito.

El límite es un concepto topológico (pincha aquí para saber qué es un espacio topológico) aunque, para no complicar las cosas, suele definirse sobre un espacio métrico (espacio que cuenta con noción de distancia), ya que es mucho más sencillo de esta forma (he de decir que todo espacio métrico es un espacio topológico, pero no al revés).

Bien, entonces, ¿qué es un límite? Más o menos, nuestra intuición nos da una buena idea de lo que es un límite pero, por supuesto, en Matemáticas hay una definición rigurosa de este concepto. Nosotros nos quedaremos con el caso particular de límite de una función real (función definida sobre los números reales que toma valores reales).

Grosso modo, una función f(x) tiende a un límite L cuando x tiende a c si cuanto más nos acercamos a c, más se acerca f a L. Además, se dice que el límite de una función es ∞ cuando x tiende a c si esta se hace arbitrariamente grande a medida que x se aproxima a c (o -∞ si f se hace arbitrariamente grande en números negativos).

Todo el mundo ve el error en el segundo límite, pero no tantos se dan cuenta del error del primero.

Una vez soltado todo este rollo (sí, lo reconozco XD), pasemos a ver en qué sentido existen infinitos más grandes que otros. Esto es debido a que el infinito no es un número, sino algo más complejo. Por esta razón, no se puede operar con él alegremente. Por ejemplo, no podemos calcular el resultado de  ∞ - ∞, o de ∞/∞ sin más información, puesto que, dependiendo de la situación, su resultado varía (puede tomar cualquier valor). Veamos cómo:

En este caso, ∞/∞ vale 1.

En este otro caso, el resultado es ∞.

Como decíamos, puede tomar cualquier valor:

En conclusión, el concepto de infinito es extremadamente abstracto, lo que provoca que, a menudo, al trabajar con él sucedan cosas que entren en conflicto con nuestra intuición...

Otro día hablaremos de otros tipos de indeterminaciones como 0/0 ó 1^∞.

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