Las ecuaciones diferenciales

Todo el mundo conoce o, al menos, ha oído hablar de lo que es una ecuación. Sin embargo, el concepto de ecuación diferencial ya no es tan popular, pero quizá éstas sean más famosas, tanto que a menudo aparecen en el cine y la televisión.

Una pizarra repleta de ecuaciones diferenciales en la conocida serie "The Big Bang Theory".

No nos asustemos por la imagen y vayamos paso a paso. Una ecuación es una igualdad (no identidad) entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen valores conocidos y valores desconocidos o incógnitas (representadas por letras, habitualmente por 'x'), y una solución a una ecuación dada es un conjunto de valores que pueden tomar las incógnitas de forma que se verifique la igualdad. Por ejemplo, la ecuación 'x+1=3' tiene solución única 'x=2', pero otras ecuaciones pueden no tener solución, tener varias soluciones o, incluso, infinitas.
Pero, ¿qué es una ecuación diferencial? Si buscamos en el diccionario la palabra diferencial, una de las definiciones que encontramos es: "diferencia infinitamente pequeña de una variable". Pues bien, dada una función f, se define su derivada (supondremos que no hay problemas y que, en efecto, f tiene derivada) como otra función f' que se obtiene a partir de f asignando a cada valor 'a' el valor

Definición de derivada

es decir (¡que nadie se asuste si no entiende la definición!, quedaos con lo que sigue), a partir de una división de diferencias infinitamente pequeñas. O sea, que las ecuaciones diferenciales van a tener que ver con las derivadas.
En efecto, una ecuación diferencial se diferencia (valga la redundancia XD) principalmente de una ecuación usual en que tanto los valores conocidos como las incógnitas no representan valores o números, sino funciones; y en la ecuación no sólo aparecen éstas (las funciones incógnitas), sino también sus derivadas. Dependiendo de si la función o funciones con las que se trabaja son de una o varias variables, la ecuación diferencial se clasifica en ecuación diferencial ordinaria o ecuación en derivadas parciales, respectivamente. Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria sería 'f'(x)=f(x)', y una solución suya sería f(x)=e^x (ya que la derivada de f(x)=e^x es f'(x)=e^x), aunque más general sería f(x)=ce^x (donde c es cualquier valor real).
Pero diréis, ¡ésto no se parece en nada a lo que aparece en la pizarra de Sheldon! Simplemente es debido a un cambio en la notación. Si, en lugar de denotar la derivada de f por f' la denotamos por df/dx (lo que significa derivada de f con respecto a x), podemos escribir nuestra sencilla ecuación f'(x)=f(x) como:

que ya se parece algo más.

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EL PROYECTO ERLANGEN

Todos conocemos la famosa teoría del punto gordo (por un punto exterior a una recta pasan tantas paralelas como gordo sea el punto), pero fuera bromas, esta cuestión, la de aceptar que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela, ha sido discutida desde que la enunció Euclides.

Resulta que en la geometría euclídea esta proposición es cierta, sin embargo podemos hacer diferentes tipos de geometría dependiendo de si aceptamos que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela (esférica), o que pasan más de una (geometría hiperbólica). De esto ya se dieron cuenta Riemann y Lovachevsky en el s.XIX, dando lugar a nuevas formas de pensar las matemáticas, y por consiguiente la física.

Pero la cosa no acaba ahí, porque a principios del XX Klein pudo clasificar los distintos tipos de geometría que se conocían (euclídea, esférica, hiperbólica) como casos particulares de geometrías proyectivas con distintas métricas o formas de medir. A raíz de esta clasificación, que propone la geometría proyectiva como “la reina de las geometrías”, nació el proyecto Erlangen. 

Este tratado aporta una nueva forma de resolver los problemas de geometría, englobando los métodos analíticos y algebraicos. El programa consiste en considerar no ya el espacio geométrico y sus objetos en primer lugar, sino el grupo de transformaciones que queremos que dejen invariante al espacio geométrico. Se puede demostrar que dado este grupo y su cálculo de invariantes podemos recuperar todas las características de la geometría. Así la geometría euclídea es aquella que se ocupa del estudio de invariantes por movimientos rígidos (simetrías, traslaciones y giros), la geometría afín se ocupa de los invariantes por traslaciones y la proyectiva por proyectividades (composición de proyecciones).

Esto tuvo consecuencias extraordinarias en la forma de entender la física; ya que la mecánica clásica se puede reducir al estudio de invariantes del grupo de Galileo. También se puede probar la incompatibilidad del electromagnetismo con la mecánica de Newton, ya que la ecuación de ondas, que explica las ecuaciones de Maxwell es incompatible con el grupo de Galileo. Para solventar esto se creó de manera “artificial” el grupo de Lorentz, que dio paso a la formalización de la relatividad especial (este grupo se puede expresar mediante la métrica de Minkowski). La revolución que supuso el proyecto no se quedó en la física, sino que en matemáticas tuvo consecuencias tan importantes como el inicio de la teoría de formas modulares, que permitió a Wiles en 1995 resolver la última conjetura de Fermat.

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"Rigor Mates", parte V: Los números complejos.

Hasta ahora, hemos ido ampliando el concepto de número desde los números naturales hasta los reales (ver partes I, II, III y IV de "Rigor Mates") y, hayamos entendido mejor o peor el proceso seguido, sí que "entendemos" (y pongo comillas porque si nos ponemos a darle vueltas, todo es más complicado de lo que parece) bastante bien desde el concepto de número natural hasta el de número real, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales (a pesar de su nombre, éstos también los "entendemos"). Pero ahora llegan los complejos, , y quizá alguno de vosotros ni siquiera haya oído hablar de ellos. Sin embargo, son tan números como pueden serlo los reales, no vamos a discriminarlos.

Siguiendo la línea de justificación que empleamos para dejar clara la necesidad de la ampliación del concepto de número en los anteriores pasos (los enteros daban solución a cualquier ecuación de la forma x+a=b, con a y b naturales; los racionales, a las de la forma ax=b, con a y b enteros; y los reales, a las de la forma x²=a, con a racional positivo), los números complejos dan respuesta a las ecuaciones del tipo x²=a, donde a es un número real cualquiera. Si tenemos que poner un ejemplo, está claro que es x²=-1 que, como sabemos, no tiene solución en ℝ (no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -1, ya que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo o cero). Si recordáis, el problema con los naturales era análogo, teníamos una ecuación como, por ejemplo, x+2=1, que no tenía solución en ℕ (no existe ningún número natural tal que al sumarle 2 resulte 1), y esto lo solucionábamos "inventándonos" un número que se simbolizaba con un signo '-' delante, el '-1' (para este caso particular). Pues bien, volviendo a nuestro problema original, tenemos la ecuación x²=-1, que no tiene solución real pero, ¿y por qué no "inventarnos" un número que la satisfaga? Y os diré, pues ya está inventado, se llama i, y se define como la raíz de -1, es decir, i=√-1. Y así nacen los números complejos.

Ahora ya podemos entender el chiste XD

Algunos estaréis pensando, hay muchos más números negativos, ¿a la raíz de cada uno hay que ponerle una letra diferente? ni mucho menos. Si a es un número real positivo, entonces es fácil darse cuenta de que √-a = √a*√-1 = √a*i. Pero los números complejos no son solamente los que llevan una 'i', sino los de la forma a+b*i, donde a y b son números reales; a se llama parte real y b, parte imaginaria (de ahí la 'i').

Bueno, pues ya le toca al rigor. Si volvéis a leer la última oración del párrafo anterior, es fácil darse cuenta de que un número complejo no es más que un par de números reales (a y b). Así, sin más, se define el conjunto de los números complejos como  := ℝxℝ, asombrosamente sencillo, ¿no?

Como hemos dicho, los números complejos, como mero conjunto, son el plano. Así, podemos representarlos identificando a+bi=(a,b), es decir, la parte real en el eje X y la imaginaria en el eje Y. Si giramos el plano 90º, los imaginarios se convierten en reales y los reales en imaginarios.

Para el que se haya quedado con la mosca, he de decir que la identificación de  con el plano real ℝ² es a nivel conjuntístico, o, como mucho, topológico. En cuanto dotamos a  de sus operaciones habituales de suma y multiplicación, esta identificación ya no tiene cabida. Y otra cosa mariposa, en el sentido que le hemos dado, con los números complejos termina el proceso de ampliación del concepto de número, ya que toda ecuación algebraica tiene su solución en , es decir,  es algebraicamente cerrado.

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Y tú, ¿compras lotería?

Seguro que todos habéis oído eso de "la banca siempre gana", y qué razón tiene la joía frase. Apenas unas horas antes del tradicional sorteo de la lotería de navidad, me encuentro escribiendo esta entrada, con la que no pretendo desilusionar a nadie, aunque hay una muy alta probabilidad (ya que va de probabilidades la cosa...XD) de que te ocurra si sigues leyendo...

Mucha es la gente que se anima en estos días a comprar lotería, incluso gente que durante el resto del año no lo hace, y más en tiempos de crisis (es decir, en tiempos difíciles económicamente hablando), y yo respeto esa decisión, seguramente tomada al dejarse llevar por la ilusión, pero aquí vamos a hablar de razón. Si lo que pretendemos es ganar dinero, ningún, y repito, ningún tipo de apuesta basada en el azar es una buena opción, pero peor es todavía escoger la lotería de navidad. En términos numéricos, la probabilidad de que no nos toque absolutamente nada (ni un céntimo) en la lotería de navidad es de aproximadamente un 85%, pero peor es aún el dato de la probabilidad de perder dinero en nuestra inversión (es decir, si apostamos 20€, recibir algo, pero menos de esos 20€), que es de un 95% (una inversión un tanto mala, ¿no?). Un poquito mejor son los datos de otros sorteos, como la lotería semanal, en la que la probabilidad de perder dinero es del 94% (todo datos aproximados, redondeando decimales), o la del Niño, en la que es tan solo del 92%; aunque también los hay "peores", como la primitiva, donde esta probabilidad es del 98%. En resumen, las loterías (todas) son una muy mala inversión.

Donde dice ayer, entiéndase mañana.

A estas alturas de la lectura pensaréis, sí, vale, pero...¿cuáles son las probabilidades de ganar? Pues bien, si queréis saber las probabilidades de ganar algo (y aquí estamos considerando desde ganar 1 céntimo a que nos toque "el gordo"), no tenéis más que darle la vuelta a los datos anteriores, es decir, la probabilidad de ganar dinero con la lotería de navidad sería de un 5%, en la lotería semanal de un 6%, en la del Niño, de un 8%, y en la primitiva de un 2%; unos datos que, bueno...., no parecen ser tan malos a simple vista, pero recordemos, ¡aquí se está contando la probabilidad de ganar 1 céntimo!. Si lo que nos interesa es ganar un buen pellizco, es decir, "el gordo", los datos sí que son desalentadores, sólo un 0,001% de probabilidades, ¡y no redondeo porque sino tendría que poner 0%!

Dicho todo esto, parece estar bastante claro que la banca es la que gana, pero esto no es todo. De todo lo recaudado en la venta de los números, el Estado se queda con el 30% (lo que ya está considerado en las probabilidades anteriormente dadas, es decir, no les afecta) y, además, después de realizado el sorteo, también ¡se queda con el 20% de los premios superiores a 2500€! ¿Qué significa ésto? Os dejo una viñeta que lo explica muy bien...

Es decir, las loterías y apuestas del Estado son un negociaco, pero no para los que apuestan...

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Del álgebra a la co-álgebra: un camino de Dualidad

La intención de la entrada de hoy es mostrar que las matemáticas ofrecen siempre nuevas perspectivas de lo que era archiconocido obteniendo, sin embargo, un nuevo mundo, nuevos objetos y nueva filosofía.

La dualidad. No haremos aquí un tratado filosófico sobre lo que pueda tratar la "dualidad", pero sí podemos decir que cuando hablamos de la dualidad nos referimos a conceptos complementarios en algún sentido concreto permitiendo explicar lo que sucede en ese plano de la vida. Por ejemplo, el "bien" y el "mal" son conceptos duales y la interacción entre ellos permite desarrollar una teoría sobre la ética, la moral etc. El "alma" y el "cuerpo" también son conceptos duales que permiten en este caso desarrollar una teoría sobre la existencia del ser humano. "Ideas" y "sentidos"; "Dios" y "materia" y muchos otros.

En matemáticas también existe la noción de "dualidad". Aunque aquí no hay una manera canónica de decir qué se entiende por dualidad, sí podemos reconocerla cuando la vemos en cada situación particular. Por ejemplo, cuando "acoplamos" elementos de una cierta estructura para obtener un número (pensemos en la integral del producto de dos funciones; en este caso acoplamos dos funciones por medio de una integral y obtenemos un número). O por ejemplo cuando se obtienen isomorfismos entre objetos siguiendo alguna simetría (dualidad de Poincaré).

Hoy quiero mostraros cómo se puede establecer un camino entre el álgebra y la geometría. Los objetos que obtengamos al final del camino serán duales: uno representando el álgebra y el otro la geometría. ¿Véis? aquí hay algo a lo que llamar "dualidad", pero no sabemos muy bien cómo definirlo...

Consideremos un cuerpo k (pensad en los números reales) y A una k-álgebra (pensad en los polinomios con coeficientes reales), esto quiere decir que en A disponemos de una manera de sumar y multiplicar sus elementos en entre sí verificando algunos axiomas naturales.

En particular, disponemos de una multiplicación asociativa, es decir, de una aplicación, o sea, una regla que asigna a cada par de elementos de A otro elemento de A, a saber el producto:

m: AxA --------> A

tal que mº(mxid)=mº(idxm), es decir, que a(bc)=(ab)c, para todos a,b,c en A.

Igualmente disponemos de un elemento identidad que denotamos 1_A y que verifica por definición 1_Aa=a=a1_A para todo a en A.

También disponemos de un paso al inverso 

i: A -------> A

es decir, la regla que asocia a cada elemento (invertible se entiende) su inverso.

Hasta aquí no nos hemos salido del plano algebraico.

El objeto dual que construiremos se llamará "co-álgebra" y para ver porqué dicho objeto se sitúa dentro de la geometría basta con tomar el conjunto de las funciones de A, o sea, C(A); que es por definición el conjunto de aplicacions del tipo A ------> k. 

Es muy fácil establecer ya la primera dualidad que aparece en juego: ¡¡la flecha de la multiplicaión m se invierte!! y, por tanto, obtenemos en este caso una aplicación del tipo:

m^{^} : C(A) ------> C(AxA)

Ahora, el elemento unidad de C(A) no es otra cosa que la función constante e igual a 1 y que la denotaremos por 1_C(A) : A -----> k.

Pues bien, esta construcción particular - tomando las funciones - podemos ahora (como buenos matemáticos que somos) extrapolarla a una definición más general: una co-álgebra sobre un cuerpo k es un k-espacio vectorial C equipado con dos aplicaciones:

Δ : C ------> CxC (análoga a la aplicación m^{^})
ε : C------> k (análoga a la función 1_C(A))

que se llaman co-multiplicación y co-unidad, respectivamente (e imponiendo, claro está, ciertos axiomas naturales imitando el caso de las álgebras).

Si además admitimos que nuestra co-álgebra C posee también una estructura de álgebra (con una cierta multiplicación y una cierta unidad), entonces diremos que C es una bi-álgebra.

¿Qué pasa con el paso al inverso i del álgebra? Si sobre una bi-álgebra C exigimos la existencia de una aplicación 

S: C------> C (análoga a la aplicación i)

(verificando los axiomas pertinentes), entonces C se llama álgebra de Hopf y una tal aplicación S se llama antípoda de C.

Et voilà !! Hemos conseguido construir nuestro objeto dual partiendo del álgebra pura y llegando a una interpretación geométrica, por dualidad, del objeto obtenido al final de nuestro camino!

Observamos por lo tanto que para nosotros la geometría viene representada por un álgebra de funciones y, efectivamente, esto ya lo estableció Grothendieck con sus esquemas... La idea de que la geometría venga representada a su vez por otro tipo de álgebra permite, como decíamos al comienzo, ampliar la perspectiva clásica de la geometría obteniendo teorías muy interesantes: en la geometría clásica (según la motivación de arriba) el álgebra en cuestión son las funciones del espacio (ya sean continuas, diferenciables, holomorfas); si ahora damos un paso de abstracción y admitimos un álgebra de Hopf asociada a una cierta geometría, obtemos una nueva manera de entender la geometría... Os dejo reflexionar sobre esta cuestión.

Para terminar un último dato: en un anillo en general podemos exigir o no la propriedad de conmutatividad. Pues bien, en una bi-álgebra en general (luego también en un álgebra de Hopf) podemos exigir o no la conmutatividad de C en tanto que álgebra y la co-conmutatividad de C en tanto que co-álgebra. Resulta que no es ¡nada fácil! encontrar un álgebra de Hopf que no sea NI conmutativa NI no co-conmutativa... estos ejemplos son los que se llaman actualmente "grupos cuánticos" y la geometría que representan son la "geometría cuántica" o también llamada "geometría no conmutativa".

Y hasta aquí puedo leer... dejo el suspense para una posible próxima entrada.

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Cuando los fundamentos se tambalean...

Siempre me ha gustado presumir del grado de perfección y armonía que sólo las matemáticas son capaces de alcanzar, pero de vez en cuando viene bien hacer algo de crítica.

En las sucesivas partes de "Rigor Mates" (I, II, III y IV) hablamos de la obsesión por fundamentar las Matemáticas con el más absoluto rigor, surgida en el S.XIX. Pues bien, no mucho más tarde, surgen varios problemas que hacen que estos fundamentos se tambaleen.

El primero de ellos, y uno de los más conocidos, es la paradoja de Cantor. Hacia 1885, Georg Cantor publicó su famosa teoría de conjuntos, en la que, entre otras cosas, se considera por primera vez que existen diferentes tamaños de infinito (si quieres saber más sobre este tema, puedes leer "Hasta el infinito...¡y más allá! (II)"). Poco después, en 1899, él mismo se encuentra con una de las primeras contradicciones. En su teoría de conjuntos, Cantor prueba que, dado un conjunto C, el cardinal de las partes de C, P(C) (conjunto formado por todos los subconjuntos de C), es estrictamente mayor que el cardinal de C, |P(C)|>|C| (es decir, P(C) tiene más elementos que C), hasta ahí bien. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos, M. Entonces, por lo que acabamos de decir, |P(M)|>|M|; pero, por otro lado, P(M) es también un conjunto, luego P(M)⊂M (P(M) está contenido en M), de donde se deduce que |P(M)|≤|M|. Por tanto, se verifican simultáneamente |P(M)|>|M| y |P(M)|≤|M|, ¡lo cual es un disparate!

Otra paradoja famosa es la de Russell, que fue formulada en 1901, de la cual oí hablar por primera vez en el aula de filosofía de las clases de Bachillerato. La forma en la que nos la enunció el profesor es ésta: "la clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas, pertenece a sí misma si, y sólo si, no pertenece a sí misma". Más abajo la tratamos desde un punto de vista matemático, siempre más ordenado y claro (o eso pienso yo XD), pero menos elegante, así que intenta darle unas vueltas antes de continuar leyendo.

Epiménides, el cretense, afirma que todos los cretenses mienten. Si miente, entonces dice la verdad; y si dice la verdad, entonces miente.

En términos matemáticos, consideremos el conjunto N de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, es decir

Así, habrá dos posibilidades, que N no pertenezca a N o, que N pertenezca a N, analicemos ambos casos:

• Si N no pertenece a N, entonces, por la definición de N, N sí pertenece a N, ¡disparate!
• Si N pertenece a N, de nuevo, por la definición de N, N no pertenece a N, ¡otro disparate!

Por tanto, ¡en todo caso se cumple simultáneamente que N pertenece a N y que N no pertenece a N!

Además de estas paradojas, existen otras muchas (unas tienen que ver con las matemáticas y otras no), y os animo a que nos contéis en los comentarios aquellas que conozcáis, yo os dejo con otra bastante curiosa ;)

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"Rigor Mates", parte IV: Los números reales.

Haciendo un recopilatorio de los capítulos de "Rigor Mates" (puedes verlos aquí: parte I, parte II, parte III), hemos ido ampliando sucesivamente el concepto de número ℕ⊂ℤ⊂, siguiendo un orden lógico, pero no histórico. Hoy nos ocuparemos de dar un paso más, ampliando  (el conjunto de los números racionales) mediante los números irracionales .

Como su propio nombre indica, los números irracionales son aquellos que no son racionales, es decir, que no pueden expresarse en forma de fracción. Ya en la antigua Grecia se sabía de su existencia, cosa que hacía que "se volvieran locos", y no es para menos. Intentad pensar por un momento como un discípulo de Pitágoras. Las Matemáticas que conoces están basadas en la geometría y la medida, y en ellas todo es perfecto e ideal. Pero aquí llega el triángulo rectángulo de catetos unidad y su hipotenusa de √2 unidades, que tienes "perfectamente" dibujada delante de ti, con su medida "exacta" (si quieres ver por qué pongo tanta comilla, deberías leer esta entrada), pero no puedes medirla, y nunca podrás (para saber más sobre este asunto, puedes leer esta otra entrada). He de decir aquí, que esta no era exactamente la situación, ya que el teorema de Pitágoras no se enunciaba como ahora lo conocemos, sino en términos de áreas, pero la reflexión que hemos hecho nos sirve para captar la idea.

Esquematización visual de las sucesivas ampliaciones del concepto de número.

Entonces, sólo nos falta la construcción formal y rigurosa (aunque al final aquí sólo demos la idea de esta construcción, que para nada es rigurosa XD), que esta vez es un poco diferente. En Matemáticas, hay un tipo de sucesiones llamadas de Cauchy que, grosso modo, son aquellas cuyos términos, a partir de uno dado, se aproximan cada vez más. Pues bien, llamaremos límite de una sucesión de Cauchy, si existe, a ese número al que se van acercando sus términos.

El quid de la cuestión está en que, para nuestro problema, consideramos sucesiones de Cauchy formadas por números racionales, cuyo límite podrá ser un número racional o no (y esto es lo importante), en cuyo caso será un número irracional. Y diréis, si si, todo ésto está muy bien pero, ¿cuál es la definición de conjunto de los números reales? Para ello, llamemos C al conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales, y definamos en él la siguiente relación R (que resulta ser de equivalencia):

La sucesión {a_n} y la sucesión {b_n}, están relacionadas si y sólo si la sucesión formada por la diferencia de sus términos tiene como límite 0.

Es decir, estamos relacionando dos sucesiones si ambas tienen el mismo límite. Como hemos mencionado, se demuestra que R es una relación de equivalencia y, por tanto, podemos considerar el conjunto cociente C/R. Pero, ¿qué conjunto es éste? Lo que hacemos al tomar cociente, es hacer indistinguibles aquellas sucesiones que tienen el mismo límite (que puede ser un número racional o irracional), identificando cada sucesión (o, mejor dicho, cada clase de sucesiones) con su límite, este conjunto no es más que el conocido conjunto de los números reales, y se denota como ℝ:=C/R. Como siempre, las propiedades y la estructura conocidas de los números reales, se deducen utilizando razonamientos rigurosos a partir de las de los números racionales y la construcción que hemos hecho.

El famoso número π es irracional. Otro día nos ocuparemos de los imaginarios.

Para terminar, hay que decir que, por supuesto, ésta no es la única manera de construir formalmente los números reales. Como ejemplo, podemos poner la construcción axiomática de Hilbert.

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