¡Las tazas y los Donuts son la misma cosa!

Por supuesto, todos sabemos que las tazas y las rosquillas son cosas diferentes. A nadie se le ocurriría comerse una taza o echar leche en un Donut (o sí, quién sabe XD). A pesar de esto, desde cierto punto de vista matemático, estos dos objetos son indistinguibles (al final vais a quedar convencidos de que estoy loco...) ¿Cuál es ese punto de vista? El de la Topología.

Taza trasformándose en un toro (un toro matemático), y viceversa.

La Topología no es una ciencia dedicada al estudio de los topos, sino una rama de las Matemáticas. En concreto, aquella rama ocupada de estudiar las funciones continuas, los objetos que estas relacionan y sus propiedades. Dichos objetos se llaman Espacios topológicos y consisten en una pareja formada por un conjunto y una topología (entendida ahora como objeto matemático y no como una rama de las Matemáticas). El problema queda reducido entonces a explicar qué es una topología.

Banda de Möbius.

 Existen dos tipos de topologías, topología por abiertos y topología por cerrados (sí, es "lo de los intervalos", después de todo no era algo tan raro XD). Ambas son equivalentes, hablemos de topología por abiertos. Dado un conjunto C, una topología por abiertos de C es una familia T de subconjuntos (llamados abiertos) de C verificando ciertas propiedades:

• El vacío y el total (C), forman parte de la familia.
• La unión arbitraria de abiertos, es abierta.
• La intersección finita de abiertos también es abierta.

La pareja formada por C y T, se llama espacio topológico.

Ya dentro del mundo topológico, la Homotopía estudia las aplicaciones continuas que pueden "deformarse continuamente" (o transformarse de forma continua) la una en la otra.

Deformación continua de un camino a otro.

Y...¿por qué os suelto todo este rollo? Porque la Homotopía es la que clasifica a los espacios topológicos según el número de "agujeros" que tengan, metiendo en el mismo saco a las tazas y a los toros (los toros matemáticos tienen una forma característica de rosquilla).

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