Línea de mínima longitud que une dos puntos, ¿línea recta?

Empecemos con una pregunta: ¿cuál es la línea de mínima longitud que une dos puntos? La respuesta sin más información sería: la línea recta. Pero, si pensamos que estamos sobre la superficie de un planeta "esférico" (a partir de ahora supondremos que así lo es, aunque en realidad no lo sea exactamente), ¿cómo ir de un sitio a otro en línea recta? Es prácticamente imposible, a no ser que construyéramos túneles por todas partes. Por ejemplo, para ir desde España a Australia en línea recta, ¡habría que pasar por el centro de la Tierra!

Planeta Tierra visto desde el espacio

Lo que quiero decir es que sobre la superficie de una esfera no hay líneas rectas, por lo que la línea de mínima longitud que une dos puntos de una esfera no puede ser una de ellas. Entonces, ¿qué línea minimiza la longitud?

En matemáticas, hay una disciplina llamada Geometría Diferencial que estudia las llamadas variedades diferenciables. Para que nos hagamos una idea, una variedad diferenciable es algo que localmente (a trocitos) se parece mucho a ℝⁿ (ℝ es la recta real, ℝ² es el plano, ℝ³ el espacio, etc.). Pues bien, la esfera (o la Tierra supuesta esfera), de forma local, "se parece" mucho al plano (no tienes más que echar un vistazo a tu alrededor) y, efectivamente, es una variedad diferenciable.

Proyección estereográfica, que da lugar a la estructura diferenciable usual de la esfera.

¿Por qué os cuento este rollo? Porque la Geometría Diferencial da solución a nuestro problema. Las líneas que minimizan la longitud entre dos puntos de una variedad diferenciable se denominan geodésicas. En la esfera, estas geodésicas son las circunferencias de radio máximo, es decir, los meridianos.

Geodésicas de la esfera

En definitiva, la línea de mínima longitud que uniría dos puntos de una Tierra completamente esférica sería aquel meridiano que pase por ambos puntos.

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