¿Pillará Aquiles a la tortuga?

Seguramente conozcáis la paradoja de Aquiles y la tortuga pero, por si acaso, voy a contar en qué consiste. Se puede contar de muchas formas, yo he elegido la siguiente:

Aquiles, "el de los pies ligeros", compite en una carrera de 1000 metros contra una tortuga, que es 10 veces más lenta que él. Por esta razón, decide dejar al animal una ventaja, pongamos de 100 metros. Todos sabemos que esa ventaja no será suficiente para la tortuga, entonces, ¿dónde está la paradoja?

Aquiles echando cuentas sentado en la tortuga

Pensándolo detenidamente, cuando Aquiles recorra los primeros 100 metros y llegue a donde estaba la tortuga, esta ya no estará allí, sino que habrá recorrido 100/10 = 10 metros. De nuevo, cuando Aquiles recorra esos 10 metros y llegue a donde estaba la tortuga, esta estará a 10/10 = 1 metro de allí, y así sucesivamente, hasta el infinito.

Aquiles intentando alcanzar a la tortuga

Parece, entonces, que Aquiles no llegará nunca a alcanzar a la tortuga pero, ¡todos sabemos que sí la pillará! Ya, y, ¿cómo lo demostramos? Las matemáticas resuelven este problema.

Resulta que, a veces, una suma infinita de términos tiene como resultado un valor finito, si, finito, un número. Este es uno de esos casos. Es fácil ver que la distancia a la salida en la que Aquiles alcanza a la tortuga es el resultado de la siguiente suma infinita:

Está probado que esta serie es convergente. En concreto,

En definitiva, Aquiles alcanza a la tortuga a 111,111... metros de la salida, ¡mucho antes de terminar la carrera!

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