La raíz de 2, dolor de cabeza de los griegos.

A todos (o a la mayoría de nosotros) nos enseñaron alguna vez que la raíz cuadrada de un número es aquel cuyo cuadrado nos devuelve el número original, es decir, b = √a  si a = b². Incluso aprendimos un algoritmo (un tanto raro) para calcular las raíces que no se veían a simple vista. Quizá esto os suene de algo:

Algoritmo de la raíz cuadrada

Unas son muy sencillas, como la raíz, o raíces (hablamos de raíces cuadradas, y siempre hay una positiva y otra negativa) de 4, que son 2 y -2; otras son más complicadas, pero exactas, como la de 15129, que es 123 (adelante, compruébalo si quieres); y otras, simplemente, no "existen" (ningún número negativo tiene raíz cuadrada real). Pero hay algunas (en realidad, muchas, infinitas), de las que se "desconoce" su valor exacto, una de ellas es la raíz de 2, √2. Pensaréis, este tío está mintiendo, yo meto el 2 en la calculadora, le doy a la tecla de la raíz cuadrada y me da 1,414213562. Pues bien, elevad ese número al cuadrado (con una calculadora más potente o a mano) y comprobad si sale 2. La respuesta es no, sale un número muy cercano a 2, pero no es 2. La calculemos con la máquina que la calculemos, siempre obtendremos una aproximación, también si la intentamos calcular a mano, moriríamos después de tener miles de millones de cifras decimales, pero no habríamos terminado.
Yo, a estas alturas, me preguntaría, bueno Mario, y ¿dónde está el disparate?, y os respondo: ahora os lo cuento. Resulta que se puede obtener la medida exacta de la raíz de 2. Los griegos la tenían delante, esto es la raíz de 2, exactamente esto, un  trocito de nada, y sin embargo no podemos saber lo que mide numéricamente, tiene cifras infinitas. La concepción idealista que los griegos tenían de las matemáticas chocaba de pleno con situaciones como esta.
Seguro que todos conocéis o habéis oído hablar del famoso teorema de Pitágoras, ese que dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Teorema de Pitágoras

Consideremos entonces un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 1, ¿cuánto medirá su hipotenusa? Sorprendentemente, la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo mide, exactamente, c = √(a² + b²) = √(1+1) = √2.

Representación de la raíz de 2 en la recta real

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