Las ecuaciones diferenciales

Todo el mundo conoce o, al menos, ha oído hablar de lo que es una ecuación. Sin embargo, el concepto de ecuación diferencial ya no es tan popular, pero quizá éstas sean más famosas, tanto que a menudo aparecen en el cine y la televisión.

Una pizarra repleta de ecuaciones diferenciales en la conocida serie "The Big Bang Theory".

No nos asustemos por la imagen y vayamos paso a paso. Una ecuación es una igualdad (no identidad) entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen valores conocidos y valores desconocidos o incógnitas (representadas por letras, habitualmente por 'x'), y una solución a una ecuación dada es un conjunto de valores que pueden tomar las incógnitas de forma que se verifique la igualdad. Por ejemplo, la ecuación 'x+1=3' tiene solución única 'x=2', pero otras ecuaciones pueden no tener solución, tener varias soluciones o, incluso, infinitas.
Pero, ¿qué es una ecuación diferencial? Si buscamos en el diccionario la palabra diferencial, una de las definiciones que encontramos es: "diferencia infinitamente pequeña de una variable". Pues bien, dada una función f, se define su derivada (supondremos que no hay problemas y que, en efecto, f tiene derivada) como otra función f' que se obtiene a partir de f asignando a cada valor 'a' el valor

Definición de derivada

es decir (¡que nadie se asuste si no entiende la definición!, quedaos con lo que sigue), a partir de una división de diferencias infinitamente pequeñas. O sea, que las ecuaciones diferenciales van a tener que ver con las derivadas.
En efecto, una ecuación diferencial se diferencia (valga la redundancia XD) principalmente de una ecuación usual en que tanto los valores conocidos como las incógnitas no representan valores o números, sino funciones; y en la ecuación no sólo aparecen éstas (las funciones incógnitas), sino también sus derivadas. Dependiendo de si la función o funciones con las que se trabaja son de una o varias variables, la ecuación diferencial se clasifica en ecuación diferencial ordinaria o ecuación en derivadas parciales, respectivamente. Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria sería 'f'(x)=f(x)', y una solución suya sería f(x)=e^x (ya que la derivada de f(x)=e^x es f'(x)=e^x), aunque más general sería f(x)=ce^x (donde c es cualquier valor real).
Pero diréis, ¡ésto no se parece en nada a lo que aparece en la pizarra de Sheldon! Simplemente es debido a un cambio en la notación. Si, en lugar de denotar la derivada de f por f' la denotamos por df/dx (lo que significa derivada de f con respecto a x), podemos escribir nuestra sencilla ecuación f'(x)=f(x) como:

que ya se parece algo más.

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EL PROYECTO ERLANGEN

Todos conocemos la famosa teoría del punto gordo (por un punto exterior a una recta pasan tantas paralelas como gordo sea el punto), pero fuera bromas, esta cuestión, la de aceptar que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela, ha sido discutida desde que la enunció Euclides.

Resulta que en la geometría euclídea esta proposición es cierta, sin embargo podemos hacer diferentes tipos de geometría dependiendo de si aceptamos que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela (esférica), o que pasan más de una (geometría hiperbólica). De esto ya se dieron cuenta Riemann y Lovachevsky en el s.XIX, dando lugar a nuevas formas de pensar las matemáticas, y por consiguiente la física.

Pero la cosa no acaba ahí, porque a principios del XX Klein pudo clasificar los distintos tipos de geometría que se conocían (euclídea, esférica, hiperbólica) como casos particulares de geometrías proyectivas con distintas métricas o formas de medir. A raíz de esta clasificación, que propone la geometría proyectiva como “la reina de las geometrías”, nació el proyecto Erlangen. 

Este tratado aporta una nueva forma de resolver los problemas de geometría, englobando los métodos analíticos y algebraicos. El programa consiste en considerar no ya el espacio geométrico y sus objetos en primer lugar, sino el grupo de transformaciones que queremos que dejen invariante al espacio geométrico. Se puede demostrar que dado este grupo y su cálculo de invariantes podemos recuperar todas las características de la geometría. Así la geometría euclídea es aquella que se ocupa del estudio de invariantes por movimientos rígidos (simetrías, traslaciones y giros), la geometría afín se ocupa de los invariantes por traslaciones y la proyectiva por proyectividades (composición de proyecciones).

Esto tuvo consecuencias extraordinarias en la forma de entender la física; ya que la mecánica clásica se puede reducir al estudio de invariantes del grupo de Galileo. También se puede probar la incompatibilidad del electromagnetismo con la mecánica de Newton, ya que la ecuación de ondas, que explica las ecuaciones de Maxwell es incompatible con el grupo de Galileo. Para solventar esto se creó de manera “artificial” el grupo de Lorentz, que dio paso a la formalización de la relatividad especial (este grupo se puede expresar mediante la métrica de Minkowski). La revolución que supuso el proyecto no se quedó en la física, sino que en matemáticas tuvo consecuencias tan importantes como el inicio de la teoría de formas modulares, que permitió a Wiles en 1995 resolver la última conjetura de Fermat.

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"Rigor Mates", parte V: Los números complejos.

Hasta ahora, hemos ido ampliando el concepto de número desde los números naturales hasta los reales (ver partes I, II, III y IV de "Rigor Mates") y, hayamos entendido mejor o peor el proceso seguido, sí que "entendemos" (y pongo comillas porque si nos ponemos a darle vueltas, todo es más complicado de lo que parece) bastante bien desde el concepto de número natural hasta el de número real, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales (a pesar de su nombre, éstos también los "entendemos"). Pero ahora llegan los complejos, , y quizá alguno de vosotros ni siquiera haya oído hablar de ellos. Sin embargo, son tan números como pueden serlo los reales, no vamos a discriminarlos.

Siguiendo la línea de justificación que empleamos para dejar clara la necesidad de la ampliación del concepto de número en los anteriores pasos (los enteros daban solución a cualquier ecuación de la forma x+a=b, con a y b naturales; los racionales, a las de la forma ax=b, con a y b enteros; y los reales, a las de la forma x²=a, con a racional positivo), los números complejos dan respuesta a las ecuaciones del tipo x²=a, donde a es un número real cualquiera. Si tenemos que poner un ejemplo, está claro que es x²=-1 que, como sabemos, no tiene solución en ℝ (no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -1, ya que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo o cero). Si recordáis, el problema con los naturales era análogo, teníamos una ecuación como, por ejemplo, x+2=1, que no tenía solución en ℕ (no existe ningún número natural tal que al sumarle 2 resulte 1), y esto lo solucionábamos "inventándonos" un número que se simbolizaba con un signo '-' delante, el '-1' (para este caso particular). Pues bien, volviendo a nuestro problema original, tenemos la ecuación x²=-1, que no tiene solución real pero, ¿y por qué no "inventarnos" un número que la satisfaga? Y os diré, pues ya está inventado, se llama i, y se define como la raíz de -1, es decir, i=√-1. Y así nacen los números complejos.

Ahora ya podemos entender el chiste XD

Algunos estaréis pensando, hay muchos más números negativos, ¿a la raíz de cada uno hay que ponerle una letra diferente? ni mucho menos. Si a es un número real positivo, entonces es fácil darse cuenta de que √-a = √a*√-1 = √a*i. Pero los números complejos no son solamente los que llevan una 'i', sino los de la forma a+b*i, donde a y b son números reales; a se llama parte real y b, parte imaginaria (de ahí la 'i').

Bueno, pues ya le toca al rigor. Si volvéis a leer la última oración del párrafo anterior, es fácil darse cuenta de que un número complejo no es más que un par de números reales (a y b). Así, sin más, se define el conjunto de los números complejos como  := ℝxℝ, asombrosamente sencillo, ¿no?

Como hemos dicho, los números complejos, como mero conjunto, son el plano. Así, podemos representarlos identificando a+bi=(a,b), es decir, la parte real en el eje X y la imaginaria en el eje Y. Si giramos el plano 90º, los imaginarios se convierten en reales y los reales en imaginarios.

Para el que se haya quedado con la mosca, he de decir que la identificación de  con el plano real ℝ² es a nivel conjuntístico, o, como mucho, topológico. En cuanto dotamos a  de sus operaciones habituales de suma y multiplicación, esta identificación ya no tiene cabida. Y otra cosa mariposa, en el sentido que le hemos dado, con los números complejos termina el proceso de ampliación del concepto de número, ya que toda ecuación algebraica tiene su solución en , es decir,  es algebraicamente cerrado.

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