Y tú, ¿compras lotería?

Seguro que todos habéis oído eso de "la banca siempre gana", y qué razón tiene la joía frase. Apenas unas horas antes del tradicional sorteo de la lotería de navidad, me encuentro escribiendo esta entrada, con la que no pretendo desilusionar a nadie, aunque hay una muy alta probabilidad (ya que va de probabilidades la cosa...XD) de que te ocurra si sigues leyendo...

Mucha es la gente que se anima en estos días a comprar lotería, incluso gente que durante el resto del año no lo hace, y más en tiempos de crisis (es decir, en tiempos difíciles económicamente hablando), y yo respeto esa decisión, seguramente tomada al dejarse llevar por la ilusión, pero aquí vamos a hablar de razón. Si lo que pretendemos es ganar dinero, ningún, y repito, ningún tipo de apuesta basada en el azar es una buena opción, pero peor es todavía escoger la lotería de navidad. En términos numéricos, la probabilidad de que no nos toque absolutamente nada (ni un céntimo) en la lotería de navidad es de aproximadamente un 85%, pero peor es aún el dato de la probabilidad de perder dinero en nuestra inversión (es decir, si apostamos 20€, recibir algo, pero menos de esos 20€), que es de un 95% (una inversión un tanto mala, ¿no?). Un poquito mejor son los datos de otros sorteos, como la lotería semanal, en la que la probabilidad de perder dinero es del 94% (todo datos aproximados, redondeando decimales), o la del Niño, en la que es tan solo del 92%; aunque también los hay "peores", como la primitiva, donde esta probabilidad es del 98%. En resumen, las loterías (todas) son una muy mala inversión.

Donde dice ayer, entiéndase mañana.

A estas alturas de la lectura pensaréis, sí, vale, pero...¿cuáles son las probabilidades de ganar? Pues bien, si queréis saber las probabilidades de ganar algo (y aquí estamos considerando desde ganar 1 céntimo a que nos toque "el gordo"), no tenéis más que darle la vuelta a los datos anteriores, es decir, la probabilidad de ganar dinero con la lotería de navidad sería de un 5%, en la lotería semanal de un 6%, en la del Niño, de un 8%, y en la primitiva de un 2%; unos datos que, bueno...., no parecen ser tan malos a simple vista, pero recordemos, ¡aquí se está contando la probabilidad de ganar 1 céntimo!. Si lo que nos interesa es ganar un buen pellizco, es decir, "el gordo", los datos sí que son desalentadores, sólo un 0,001% de probabilidades, ¡y no redondeo porque sino tendría que poner 0%!

Dicho todo esto, parece estar bastante claro que la banca es la que gana, pero esto no es todo. De todo lo recaudado en la venta de los números, el Estado se queda con el 30% (lo que ya está considerado en las probabilidades anteriormente dadas, es decir, no les afecta) y, además, después de realizado el sorteo, también ¡se queda con el 20% de los premios superiores a 2500€! ¿Qué significa ésto? Os dejo una viñeta que lo explica muy bien...

Es decir, las loterías y apuestas del Estado son un negociaco, pero no para los que apuestan...

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Del álgebra a la co-álgebra: un camino de Dualidad

La intención de la entrada de hoy es mostrar que las matemáticas ofrecen siempre nuevas perspectivas de lo que era archiconocido obteniendo, sin embargo, un nuevo mundo, nuevos objetos y nueva filosofía.

La dualidad. No haremos aquí un tratado filosófico sobre lo que pueda tratar la "dualidad", pero sí podemos decir que cuando hablamos de la dualidad nos referimos a conceptos complementarios en algún sentido concreto permitiendo explicar lo que sucede en ese plano de la vida. Por ejemplo, el "bien" y el "mal" son conceptos duales y la interacción entre ellos permite desarrollar una teoría sobre la ética, la moral etc. El "alma" y el "cuerpo" también son conceptos duales que permiten en este caso desarrollar una teoría sobre la existencia del ser humano. "Ideas" y "sentidos"; "Dios" y "materia" y muchos otros.

En matemáticas también existe la noción de "dualidad". Aunque aquí no hay una manera canónica de decir qué se entiende por dualidad, sí podemos reconocerla cuando la vemos en cada situación particular. Por ejemplo, cuando "acoplamos" elementos de una cierta estructura para obtener un número (pensemos en la integral del producto de dos funciones; en este caso acoplamos dos funciones por medio de una integral y obtenemos un número). O por ejemplo cuando se obtienen isomorfismos entre objetos siguiendo alguna simetría (dualidad de Poincaré).

Hoy quiero mostraros cómo se puede establecer un camino entre el álgebra y la geometría. Los objetos que obtengamos al final del camino serán duales: uno representando el álgebra y el otro la geometría. ¿Véis? aquí hay algo a lo que llamar "dualidad", pero no sabemos muy bien cómo definirlo...

Consideremos un cuerpo k (pensad en los números reales) y A una k-álgebra (pensad en los polinomios con coeficientes reales), esto quiere decir que en A disponemos de una manera de sumar y multiplicar sus elementos en entre sí verificando algunos axiomas naturales.

En particular, disponemos de una multiplicación asociativa, es decir, de una aplicación, o sea, una regla que asigna a cada par de elementos de A otro elemento de A, a saber el producto:

m: AxA --------> A

tal que mº(mxid)=mº(idxm), es decir, que a(bc)=(ab)c, para todos a,b,c en A.

Igualmente disponemos de un elemento identidad que denotamos 1_A y que verifica por definición 1_Aa=a=a1_A para todo a en A.

También disponemos de un paso al inverso 

i: A -------> A

es decir, la regla que asocia a cada elemento (invertible se entiende) su inverso.

Hasta aquí no nos hemos salido del plano algebraico.

El objeto dual que construiremos se llamará "co-álgebra" y para ver porqué dicho objeto se sitúa dentro de la geometría basta con tomar el conjunto de las funciones de A, o sea, C(A); que es por definición el conjunto de aplicacions del tipo A ------> k. 

Es muy fácil establecer ya la primera dualidad que aparece en juego: ¡¡la flecha de la multiplicaión m se invierte!! y, por tanto, obtenemos en este caso una aplicación del tipo:

m^{^} : C(A) ------> C(AxA)

Ahora, el elemento unidad de C(A) no es otra cosa que la función constante e igual a 1 y que la denotaremos por 1_C(A) : A -----> k.

Pues bien, esta construcción particular - tomando las funciones - podemos ahora (como buenos matemáticos que somos) extrapolarla a una definición más general: una co-álgebra sobre un cuerpo k es un k-espacio vectorial C equipado con dos aplicaciones:

Δ : C ------> CxC (análoga a la aplicación m^{^})
ε : C------> k (análoga a la función 1_C(A))

que se llaman co-multiplicación y co-unidad, respectivamente (e imponiendo, claro está, ciertos axiomas naturales imitando el caso de las álgebras).

Si además admitimos que nuestra co-álgebra C posee también una estructura de álgebra (con una cierta multiplicación y una cierta unidad), entonces diremos que C es una bi-álgebra.

¿Qué pasa con el paso al inverso i del álgebra? Si sobre una bi-álgebra C exigimos la existencia de una aplicación 

S: C------> C (análoga a la aplicación i)

(verificando los axiomas pertinentes), entonces C se llama álgebra de Hopf y una tal aplicación S se llama antípoda de C.

Et voilà !! Hemos conseguido construir nuestro objeto dual partiendo del álgebra pura y llegando a una interpretación geométrica, por dualidad, del objeto obtenido al final de nuestro camino!

Observamos por lo tanto que para nosotros la geometría viene representada por un álgebra de funciones y, efectivamente, esto ya lo estableció Grothendieck con sus esquemas... La idea de que la geometría venga representada a su vez por otro tipo de álgebra permite, como decíamos al comienzo, ampliar la perspectiva clásica de la geometría obteniendo teorías muy interesantes: en la geometría clásica (según la motivación de arriba) el álgebra en cuestión son las funciones del espacio (ya sean continuas, diferenciables, holomorfas); si ahora damos un paso de abstracción y admitimos un álgebra de Hopf asociada a una cierta geometría, obtemos una nueva manera de entender la geometría... Os dejo reflexionar sobre esta cuestión.

Para terminar un último dato: en un anillo en general podemos exigir o no la propriedad de conmutatividad. Pues bien, en una bi-álgebra en general (luego también en un álgebra de Hopf) podemos exigir o no la conmutatividad de C en tanto que álgebra y la co-conmutatividad de C en tanto que co-álgebra. Resulta que no es ¡nada fácil! encontrar un álgebra de Hopf que no sea NI conmutativa NI no co-conmutativa... estos ejemplos son los que se llaman actualmente "grupos cuánticos" y la geometría que representan son la "geometría cuántica" o también llamada "geometría no conmutativa".

Y hasta aquí puedo leer... dejo el suspense para una posible próxima entrada.

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Cuando los fundamentos se tambalean...

Siempre me ha gustado presumir del grado de perfección y armonía que sólo las matemáticas son capaces de alcanzar, pero de vez en cuando viene bien hacer algo de crítica.

En las sucesivas partes de "Rigor Mates" (I, II, III y IV) hablamos de la obsesión por fundamentar las Matemáticas con el más absoluto rigor, surgida en el S.XIX. Pues bien, no mucho más tarde, surgen varios problemas que hacen que estos fundamentos se tambaleen.

El primero de ellos, y uno de los más conocidos, es la paradoja de Cantor. Hacia 1885, Georg Cantor publicó su famosa teoría de conjuntos, en la que, entre otras cosas, se considera por primera vez que existen diferentes tamaños de infinito (si quieres saber más sobre este tema, puedes leer "Hasta el infinito...¡y más allá! (II)"). Poco después, en 1899, él mismo se encuentra con una de las primeras contradicciones. En su teoría de conjuntos, Cantor prueba que, dado un conjunto C, el cardinal de las partes de C, P(C) (conjunto formado por todos los subconjuntos de C), es estrictamente mayor que el cardinal de C, |P(C)|>|C| (es decir, P(C) tiene más elementos que C), hasta ahí bien. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos, M. Entonces, por lo que acabamos de decir, |P(M)|>|M|; pero, por otro lado, P(M) es también un conjunto, luego P(M)⊂M (P(M) está contenido en M), de donde se deduce que |P(M)|≤|M|. Por tanto, se verifican simultáneamente |P(M)|>|M| y |P(M)|≤|M|, ¡lo cual es un disparate!

Otra paradoja famosa es la de Russell, que fue formulada en 1901, de la cual oí hablar por primera vez en el aula de filosofía de las clases de Bachillerato. La forma en la que nos la enunció el profesor es ésta: "la clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas, pertenece a sí misma si, y sólo si, no pertenece a sí misma". Más abajo la tratamos desde un punto de vista matemático, siempre más ordenado y claro (o eso pienso yo XD), pero menos elegante, así que intenta darle unas vueltas antes de continuar leyendo.

Epiménides, el cretense, afirma que todos los cretenses mienten. Si miente, entonces dice la verdad; y si dice la verdad, entonces miente.

En términos matemáticos, consideremos el conjunto N de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, es decir

Así, habrá dos posibilidades, que N no pertenezca a N o, que N pertenezca a N, analicemos ambos casos:

• Si N no pertenece a N, entonces, por la definición de N, N sí pertenece a N, ¡disparate!
• Si N pertenece a N, de nuevo, por la definición de N, N no pertenece a N, ¡otro disparate!

Por tanto, ¡en todo caso se cumple simultáneamente que N pertenece a N y que N no pertenece a N!

Además de estas paradojas, existen otras muchas (unas tienen que ver con las matemáticas y otras no), y os animo a que nos contéis en los comentarios aquellas que conozcáis, yo os dejo con otra bastante curiosa ;)

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"Rigor Mates", parte IV: Los números reales.

Haciendo un recopilatorio de los capítulos de "Rigor Mates" (puedes verlos aquí: parte I, parte II, parte III), hemos ido ampliando sucesivamente el concepto de número ℕ⊂ℤ⊂, siguiendo un orden lógico, pero no histórico. Hoy nos ocuparemos de dar un paso más, ampliando  (el conjunto de los números racionales) mediante los números irracionales .

Como su propio nombre indica, los números irracionales son aquellos que no son racionales, es decir, que no pueden expresarse en forma de fracción. Ya en la antigua Grecia se sabía de su existencia, cosa que hacía que "se volvieran locos", y no es para menos. Intentad pensar por un momento como un discípulo de Pitágoras. Las Matemáticas que conoces están basadas en la geometría y la medida, y en ellas todo es perfecto e ideal. Pero aquí llega el triángulo rectángulo de catetos unidad y su hipotenusa de √2 unidades, que tienes "perfectamente" dibujada delante de ti, con su medida "exacta" (si quieres ver por qué pongo tanta comilla, deberías leer esta entrada), pero no puedes medirla, y nunca podrás (para saber más sobre este asunto, puedes leer esta otra entrada). He de decir aquí, que esta no era exactamente la situación, ya que el teorema de Pitágoras no se enunciaba como ahora lo conocemos, sino en términos de áreas, pero la reflexión que hemos hecho nos sirve para captar la idea.

Esquematización visual de las sucesivas ampliaciones del concepto de número.

Entonces, sólo nos falta la construcción formal y rigurosa (aunque al final aquí sólo demos la idea de esta construcción, que para nada es rigurosa XD), que esta vez es un poco diferente. En Matemáticas, hay un tipo de sucesiones llamadas de Cauchy que, grosso modo, son aquellas cuyos términos, a partir de uno dado, se aproximan cada vez más. Pues bien, llamaremos límite de una sucesión de Cauchy, si existe, a ese número al que se van acercando sus términos.

El quid de la cuestión está en que, para nuestro problema, consideramos sucesiones de Cauchy formadas por números racionales, cuyo límite podrá ser un número racional o no (y esto es lo importante), en cuyo caso será un número irracional. Y diréis, si si, todo ésto está muy bien pero, ¿cuál es la definición de conjunto de los números reales? Para ello, llamemos C al conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales, y definamos en él la siguiente relación R (que resulta ser de equivalencia):

La sucesión {a_n} y la sucesión {b_n}, están relacionadas si y sólo si la sucesión formada por la diferencia de sus términos tiene como límite 0.

Es decir, estamos relacionando dos sucesiones si ambas tienen el mismo límite. Como hemos mencionado, se demuestra que R es una relación de equivalencia y, por tanto, podemos considerar el conjunto cociente C/R. Pero, ¿qué conjunto es éste? Lo que hacemos al tomar cociente, es hacer indistinguibles aquellas sucesiones que tienen el mismo límite (que puede ser un número racional o irracional), identificando cada sucesión (o, mejor dicho, cada clase de sucesiones) con su límite, este conjunto no es más que el conocido conjunto de los números reales, y se denota como ℝ:=C/R. Como siempre, las propiedades y la estructura conocidas de los números reales, se deducen utilizando razonamientos rigurosos a partir de las de los números racionales y la construcción que hemos hecho.

El famoso número π es irracional. Otro día nos ocuparemos de los imaginarios.

Para terminar, hay que decir que, por supuesto, ésta no es la única manera de construir formalmente los números reales. Como ejemplo, podemos poner la construcción axiomática de Hilbert.

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"Rigor Mates", parte III: Los números racionales.

Siendo fieles a la lógica y al orden natural de las cosas, añadimos un capítulo más a nuestra serie "Rigor Mates", dedicada a los números racionales. En la primera parte hablamos de historia de las Matemáticas, en concreto de los números naturales, desde su descubrimiento hasta su más absoluta formalización en el S.XIX. Algo análogo hicimos en la parte II con los números enteros, y ahora les toca a los racionales.

Como ya hemos comentado, el orden que seguimos es un orden lógico y natural, pero no histórico. Aunque nos asombre al principio, si lo pensamos durante unos instantes, no parece tan sorprendente que "se descubrieran" antes los números racionales (positivos) que los números negativos (esto es, la ampliación de ℕ a ℤ) o, al menos, que éstos se aceptasen como números. Si no estáis de acuerdo conmigo, pensad qué os parece más aceptable, tener media manzana o tener -1 manzanas.

Recupero esta imagen que es muy socorrida XD

Pero esto no es sólo cuestión de lo que a nosotros nos parezca, sino que los hechos así lo confirman. Aunque no se tiene constancia de que las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotámica trabajasen con números negativos, sí que es más que sabido que conocían los números fraccionarios. En el papiro de Rhind se pueden encontrar fracciones de numerador 1, y es que los egipcios descomponían los números fraccionarios en sumas de fracciones de este tipo, siendo 2/3 la única que escribían sin descomponer.

Una vez hecho este repaso a la historia, vayamos al lío. Como dijimos en el anterior "Rigor Mates", los números enteros responden a la necesidad de restar, ya que los números naturales nos restringían a restas del tipo a-b con a>b (es decir, se podría restar 2-1=1, pero no 1-2). Algo parecido pasa con los racionales, que son la respuesta al problema de la división. Hasta ahora podemos dividir a/b sólo si a es múltiplo de b (por ejemplo, se puede dividir 2/1=2, pero no 1/2, y lo mismo con números negativos). Queda justificado, entonces, que es necesario hacer una ampliación de ℤ en la que la ecuación bx=a siempre tenga solución.

Los números racionales pueden tener infinitas cifras decimales, pero éstas son periódicas (repiten un patrón). Los irracionales, sin embargo, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Para ello, se procede de modo parecido a como lo hicimos en la ampliación de ℕ a ℤ. Consideremos, pues, el conjunto ℤxℤ cuyos elementos son las parejas (a,b), siendo a y b números enteros, y definamos en él la siguiente relación R:

De nuevo, análogamente al caso anterior, se demuestra que la relación R es de equivalencia y, por tanto, podemos considerar el conjunto cociente ℤxℤ/R, formado por las clases de equivalencia de las parejas (a,b) (la clase de equivalencia de (a,b) está por todos los (c,d) relacionados con él y, lógicamente, por él mismo). Y os preguntaréis, ¿qué narices está diciendo éste?, expliquémoslo.

Con la notación a la que estamos acostumbrados, una fracción es del tipo a/b (por ejemplo, 1/2, que se lee "un medio") donde a y b son números enteros, es decir, la pareja (a,b) de la que hablamos arriba en realidad sería la fracción a/b, y diréis, si, si, pero, ¿y lo de la relación? Pues, lo de la relación, es la manera de decir que dos fracciones equivalentes expresan el mismo número racional. Por ejemplo, las fracciones 1/2 y 2/4 expresan el mismo número, 0'5; con la notación de arriba, la primera sería el elemento (1,2) de ℤxℤ y la segunda, (2,4), que están relacionados, ya que 1*4=2*2 (si recordáis, éste es el método que nos enseñaron en el colegio para saber si dos fracciones son equivalentes).

Pues bien, denotando  = ℤxℤ/R, queda perfecta y rigurosamente definido el conjunto de los números racionales . A partir de la definición y utilizando las propiedades de los números enteros, se demuestran todas las de los racionales, entre ellas que la terna (, +, *), donde + y * denotan a la suma y producto habitual de números racionales, es un cuerpo. Si recordáis, dijimos que (ℤ, +, *) es un anillo, esto es debido a que todos los elementos de  salvo el 0 tienen inverso para el producto * (el inverso de a/b es b/a), pero no los de ℤ.

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"El sueño de Grothendieck"

El 13 de noviembre del año 2014 muere Alexander Grothendieck, tan solo dos días antes de la redacción de este artículo, y la consternación todavía está en el aire. Es difícil comunicar lo que Grothendieck ha significado para mi, y para tantos otros que han profundizado en su obra, como es difícil divulgar las matemáticas sin caer en los tópicos infantiles que los ajenos le atribuyen.

Para empezar, decir que un matemático no es un buen calculista; bien al contrario, al matemático no le gusta hacer cuentas, prefiere abordar el problema con un método sintético. El problema es que los métodos usados por Grothendieck se escapan tanto de nuestra intuición que es difícil abordarlo sin acudir a ideas preconcebidas o equivocadas. Por ello voy a hablarles de lo que me ha aportado Grothendieck, tanto en el terreno de las matemáticas como del humanismo.

De Grothendieck siempre me atrajo su lenguaje: universo, topos, Etalé, sitio, dibujos de niños, esquema, haz, cohomología cristalina… Imagínense un estudiante de primero de matemáticas que cree poder alcanzar una definición  de “dibujo de niños” tan clara y concisa como la de límite o función continua. La ilusión es descomunal. No importa la pregunta ¿para qué sirve?, como tampoco importa en el arte. Cuando pude llegar a algunas de las definiciones propuestas por Grothendieck, me di cuenta de que la profundidad de tales conceptos iba mucho más allá de la pura definición.

Grothendieck ha reestructurado el lenguaje de las matemáticas a tantos niveles que sus consecuencias están todavía por descubrir. El desarrollo del lenguaje categorial que él propuso, ha aportado a la geometría algebraica herramientas que parecen resolver problemas que antes no podían abordarse, problemas que podemos resumir someramente en la frase “clasificar todos los tipos de espacio posibles”.  Las aplicaciones a la física de este tipo de resultados son incalculables. Por ejemplo, uno de los artilugios que descubrió, la categoría derivada, está siendo ahora considerada como herramienta para estudiar las variedades Calabi-Yau, pieza clave en la teoría de cuerdas, y cuya proyección en tres dimensiones tiene esta pinta:

Se puede leer más sobre su biografía en varias webs. Quizás cabe destacar que su facilidad para descubrir nuevos lenguajes le llevó a desarrollar la teoría de la medida de Lebesgue en el instituto, porque no le convencían las bases del cálculo integral.

Por último decir que gran parte de su obra sigue siendo un misterio. Tiene inéditas más de 20000 páginas, y todavía no se sabe lo que escribió en su retiro en los Pirineos, desde los 90 hasta su muerte. Circulan en la red varios pdfs de sus memorias Recoltes et Semailles, y el estudio sobre los sueños y el pensamiento matemático Le clef des sognes, traducidas al español por Juan Antonio Navarro.

En España su pensamiento tuvo acogida en la licenciatura pensada por el profesor Juan Sancho Guimerá, quien fundó la carrera de matemáticas en Salamanca con unas bases sólidas para poder comprender su obra.

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"Rigor Mates", parte II: Los números enteros.

En el anterior "Rigor Mates", hicimos un rápido recorrido por la historia de las Matemáticas en general, y por la del origen y desarrollo de los números naturales en particular. Como ya dijimos, el cambio fundamental se produce en el S.XIX, época en la cual aparece una autocrítica inédita que producirá que se revisen y reformulen con un rigor impecable tanto las bases sobre las que se apoyaba toda la Matemática, como su desarrollo a partir de ellas. En particular, se da una construcción axiomática de los números naturales, de la que hablamos en "Rigor Mates", parte I: Los números naturales. En la entrada de hoy, hablaremos sobre el proceso análogo que se desarrolla para los números enteros.

Al contrario de lo que ocurre con los números naturales, los números enteros no son anteriores a la civilización, sino que aparecen por la necesidad que ésta (la civilización) tiene de utilizar números negativos. Si bien, como acabamos de decir, los enteros no son tan antiguos como los naturales, tampoco son de anteayer. Las primeras civilizaciones que trabajan con números negativos (y con el 0) son la china, la hindú y la árabe, aunque hay que señalar que sólo "los veían como herramientas", no siendo aceptados como números. En Europa, la ciencia está de capa caída, y las Matemáticas no son una excepción, hasta que se produce un punto de inflexión, quizás, en el S.XIII, en el que se introduce el sistema arábigo de numeración (en realidad los árabes lo tomaron de los hindúes por medio del matemático Al-Khwarizmi). En el S.XIX, al igual que pasa con los naturales, los números enteros y sus propiedades eran sobradamente conocidos, pero faltaba ese punto de rigor inmaculado del que hoy puede presumir la Matemática.

Aunque no lo parezca, un día nos resultó "alocada" la idea de número negativo.

La construcción rigurosa de los enteros no se realiza a partir de axiomas como la de los naturales, sino que se desarrolla a partir de esa base firme que proporciona dicha construcción de los naturales. Sin más preámbulos, vamos a ello.

Consideremos el conjunto ℕxℕ formado por parejas de números naturales. Es decir, un elemento de ℕxℕ será una pareja (a,b), donde a y b son números naturales (por ejemplo, (1,2), (7,3), (102,6),...). Sobre ese conjunto, definimos la siguiente relación R:

En lenguaje "de andar por casa", (a,b) está relacionado con (c,d) cuando se cumpla que a+d=b+c. Y os preguntaréis, ¿y ésto por qué? Si os fijáis, "pasando" b a la izquierda de la igualdad y d a la derecha, nos queda a-b=c-d. Es decir, cada par de números naturales (a,b) estará relacionado con otro (c,d) si ambos definen el mismo número entero a-b=c-d. Por ejemplo, el par (1,2) nos define el número entero 1-2=-1, y un par relacionado con él sería (66,67) (ya que 1+67=2+66), que nos define el mismo número entero 66-67=-1. Ahora, en este párrafo, aunque aclaratorio, el rigor brilla por su ausencia. Para presumir de un mínimo de rigor, escribamos otro párrafo.

Aunque ahora los veas como algo normal, párate un momento a pensar en ello. ¡Ya no son tan "naturales", eh!

La relación así definida, no es una relación cualquiera, sino que se demuestra que es una relación de equivalencia (un tipo de relación que verifica ciertas propiedades llamadas reflexiva, simétrica y transitiva), y dada una relación de equivalencia, se puede considerar el conjunto cociente, en este caso ℕxℕ/R, que se define como el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia por R de elementos de ℕxℕ (la clase de equivalencia de (a,b) está formada por él y por todos los pares de ℕxℕ relacionados con él, así, la clase de equivalencia de (1,2) estará formada por (1,2),(2,3),(3,4),..., y todos tienen en común que definen al número entero -1=1-2=2-3=3-4=...).

Pues bien, denotando ℤ=ℕxℕ/R queda perfectamente definido el conjunto de los números enteros ℤ. A partir de esto, y utilizando las propiedades conocidas de los números naturales, se demuestran todas las propiedades de los números enteros, entre ellas, que la terna (ℤ, + , *), siendo + y * las operaciones habituales de suma y producto, es un anillo, pero eso ya sería otro tema. A pesar de esto, no hay ningún problema en que, en la práctica, se identifique a la clase de equivalencia de (1,2) con el símbolo -1, y así con todos los demás XD

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Sierpinski: ¡los moyennables vuelven a la carga!

Hoy presentamos una paradoja similar a la de Banach-Tarski de la que ya hablamos en una entrada anterior: la paradoja de Sierpinski. 

Primero refresquemos un poco la memoria: la paradoja de Banach-Tarski nos asegura que podemos descomponer la esfera en pequeños trocitos de modo que al reordenarlos de cierta manera obtenemos 2 esferas iguales a la original. Decíamos que esto se explicaba matemáticamente gracias a la propiedad del grupo de isometrías de R³ de no ser "moyennable".

Recordemos que "un conjunto es paradoxal cuando es posible construir una partición del mismo de manera que por medio de alguna transformación de estos trocitos (utilizando la acción de algún grupo) podamos obtener todo el conjunto en su totalidad. Resulta que un grupo es moyennable sii no es un conjunto paradoxal."

Introducimos ahora una nueva noción: "ser super-moyennable". Un grupo G es super-moyennable sii toda parte no vacía de G no es paradoxal.

A la vista de estas definiciones está claro que "super-moyennable => moyennable" o lo que es lo mismo "no moyennable => no super-moyennable".

La pregunta es: ¿existe un grupo moyennable que no sea super-moyennable ? Con tanta palabreja nos perdemos en los razonamientos, pero si nos paramos a pensar en las definiciones veremos cómo esta pregunta revela nuestra paradoja. En efecto, decir que G sea moyennable significa que él NO es paradoxal, es decir, no podemos obtener copias suyas a partir de particiones y reordenamientos. Decir que NO sea super-moyennable es decir que G admita una parte que SÍ sea paradoxal.

Luego la pregunta es: ¿un conjunto que no sea paradoxal admite una parte paradoxal? A priori la respuesta es 'no' puesto que las partes del conjunto no se diferencian tanto del conjunto en sí mismo como para poder encontrar una de la que poder hacer copias al estilo de Banach-Tarski. Ahora bien, la paradoja de Sierpinski es la que nos da sin embargo una respuesta afirmativa y de hecho el ejemplo, un poco astucioso, se puede construir de forma elegante y explícita como se muestra a continuación.

Vamos a tomar como conjunto el plano euclídeo R² y como grupo de transformaciones el grupo de los desplazamientos de R² (es decir, las rotaciones y las traslaciones). Se demuestra que este grupo es moyennable y por tanto R² no es paradoxal. Vamos a exhibir sin embargo una parte paradoxal de R², lo cual demuestra que el grupo de desplazamientos de R² no es super-moyennable dando respuesta a la pregunta planteada.

¡Allá vamos!:

En virtud del teorema de Hermite-Lindemann (o Lindemann-Weirstrass), sabemos que si α es un número real, entonces u:=e^iα es un número (complejo) trascendente sobre los racionales (es decir, que no es raíz de ningún polinomio). La parte de R² buscada la llamaremos S y es precisamente el conjunto de los polinomios en la variable u y de coeficientes naturales, es decir, 

S:=N[u]

(nota para los "rigurosos": S se considera un subcojunto de R² identificando R² con el plano de los números complejos C)

A continuación, debemos construir la partición de nuestro conjunto S con el objetivo de demostrar que es paradoxal. Así, descomponemos S=A ∪ B donde

• A:=polinomios en u con coeficientes naturales y SIN término constante.
• B:=polinomios en u con coeficientes naturales y con término constante distinto de 0.

Ahora el truco está en hacer los desplazamientos adecuados de A y B para que cada uno de ellos nos permita reconstruir por sí mismos el conjunto entero (como explicamos en el caso de la esfera). Estos desplazamientos son los siguientes:

• rotación de ángulo -α, es decir, multiplicar por u^-1. Llamemos r a este desplazamiento.
• traslación por -1, es decir, restar -1. Llamemos t a este desplazamiento.

Según la elección de nuestros trocitos A y B es fácil darse cuenta de que

r(A)=S y t(B)=S 

Además r(A) y t(B) ¡¡siguen siendo disjuntos!! (¿por qué?...) Esto significa exactamente que el conjunto S de R² ES PARADOXAL, ¡como queríamos demostrar!; bueno como quería demostrar Sierpinski...

Os animo a que escribáis en los comentarios el detalle de los cálculos r(A)=S y t(B)=S. Por cierto, ¿para qué necesitamos que la variable 'u' de nuestros polinomios sea un número trascendente?...

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"Rigor Mates", parte I: Los números naturales.

Los números naturales aparecen como respuesta a la necesidad humana de contar. Su descubrimiento no es, obviamente, debido a un solo hombre en determinado momento, sino que ha sido un proceso que se ha ido desarrollando gradualmente durante miles de años, sí, miles, desde hace alrededor de 400000 años, es decir, en época tan temprana como el descubrimiento del fuego.

Los números naturales son los que se utilizan para contar. En la imagen pueden verse 6 manzanas.

Al contrario que ocurre con el lenguaje y la escritura (lo más aceptado actualmente es que primero apareció el lenguaje y, después, la escritura), se piensa que los signos para representar números (naturales) fueron anteriores a las palabras que los designaban, por el mero hecho de que es más sencillo contar muescas en un palo que tener la capacidad de abstracción necesaria para pensar en un número por sí solo, cosa que es necesaria para darle un nombre. Esta dificultad aún aparece hoy en día en las aulas de los más pequeños; un niño entiende perfectamente que si tiene una manzana y más tarde le dan dos, entonces al final tiene 3 manzanas, pero ya no entiende de forma tan sencilla que 1+2=3. Por su cabeza aparecen preguntas como: ¿qué es sumar?, ¿qué estoy sumando?(una vez conocida y entendida la respuesta a la primera), ¿cómo voy a sumar números que no se refieren a cosas?(sí, 1+2=3, pero...¿3 qué, 3 manzanas, 3 peras, 3 euros...?), etc. Pero pasaron los años, y los siglos, hasta llegar al siglo XIX, en el cual los números naturales eran sobradamente conocidos, así como sus propiedades.

Me he parado en este siglo porque es precisamente cuando aparece una nueva forma de hacer Matemáticas. En concreto, aparece una autocrítica como nunca antes la hubo, que da lugar al rigor matemático actual (el rigor matemático es muy antiguo, pero no en la forma tan "puntillosa", exacta y perfecta como la actual). Se pone en duda, pues, todo lo conocido hasta entonces. Para resolver este problema, se hizo necesario revisar todos los resultados, asentándolos sobre una firme base y avanzando con el más absoluto rigor. Una vez dicho todo esto, vayamos a lo nuestro, los números naturales, pero antes veamos un ejemplo de lo que NO sería rigor matemático:

Si escribimos pikachu como πkch(u), siendo ch(u) el coseno hiperbólico de u, al derivar obtenemos πksh(u), siendo sh(u) el seno hiperbólico de u, que se lee "Pikashu", el Picachu andaluz.

Todos sabemos cuáles son los números naturales, pero como ya hemos dicho, es necesario dar una definición exacta de lo que son. Existe más de una manera de construir de forma rigurosa el conjunto de los números naturales, que denotaremos por ℕ, pero aquí vamos a hablar de los axiomas de Peano, que son los siguientes:

• El número 0 es un número natural, por lo tanto, el conjunto ℕ no es vacío.
• Por cada número natural, hay otro, llamado siguiente.
• No existe ningún número natural cuyo siguiente sea el 0.
• Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces ellos mismos también son iguales.
• Si un subconjunto A de ℕ contiene al 0 y el siguiente de cada elemento de A está en A, encontes A es igual a ℕ.

En muchas ocasiones, no se considera al 0 como un número natural; para estos casos, los axiomas pueden enunciarse de forma análoga.

Tomando estas afirmaciones como ciertas, se deducen de forma sistemática y lógica todas las propiedades de los números naturales que se conocen. Aunque parezcan triviales, estos axiomas son muy importantes para desarrollar rigurosamente toda la teoría matemática que tiene que ver con los números naturales, que es prácticamente toda.

En la próxima entrega de "Rigor Mates" expondremos como se realiza la construcción de los números enteros, ¡no te la pierdas!

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¿Dimensión 1 y pico?

Todos tenemos una idea intuitiva del concepto de dimensión, sabiendo que, por ejemplo, una recta tiene dimensión 1, un plano dimensión 2 y, "el espacio", dimensión 3. Si abrimos un poco nuestra mente, incluso podemos aceptar de buena gana espacios cuya dimensión sea mayor que 3 (es decir, 4, 5, o la teoría de cuerdas bosónicas y sus 26 dimensiones), pero siempre son números naturales, sin cifras decimales.

En Matemáticas, a menudo, cuando nos encontramos con una restricción en una teoría, ésta se suprime o se modifica, dando lugar a una nueva teoría (por ejemplo, los números reales no dan respuesta a la raíz de números negativos, pero su extensión a los complejos, sí; o las diferentes geometrías que se obtienen a partir de la euclidiana modificando alguno de sus axiomas o suprimiéndolo). Preguntémonos, pues, si podemos generalizar o modificar la noción de dimensión, de modo que encontremos objetos cuya dimensión no sea entera, sino que pueda ser, por ejemplo, 1'37.

Las muñecas rusas están relacionadas con estos objetos de dimensión no entera.

Pues bien, la respuesta a esta pregunta es rotunda, SI. Existen varias modificaciones de la noción de dimensión, y también existen objetos cuya dimensión (en el nuevo sentido) no es entera, y reciben el nombre de fractales. La noción de fractal es bastante reciente, de principios del siglo XX, y son aquellos objetos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas (ya siga algún patrón o sea irregular). Un ejemplo es la alfombra de Sierpinski:

Contrucción de la alfombra de Sierpinski (el objeto en sí no está en la imagen, sino los 5 primeros términos de la sucesión que "tiende a él").

Ya nos hemos ocupado del objeto, vayamos ahora a por la dimensión. Como ya hemos mencionado, existen varias "modificaciones" del concepto de dimensión, pero aquí expondremos solamente una, la dimensión de homotecia. Supongamos que tenemos un objeto de dimensión euclídea d, y reducimos su tamaño por un factor 1/L (esto es, le aplicamos la homotecia de razón 1/L, de ahí el nombre). Entonces, necesitaremos un número N(L) de objetos reducidos similares para cubrir el objeto original. Es fácil ver que este número es N(L) = L^d. Tomando logaritmos, resulta sencillo despejar de aquí la dimensión d, obteniendo la siguiente expresión:

Pero esta expresión sigue devolviéndonos la dimensión euclídea del objeto considerado (por construcción). Ahora, si el objeto considerado es un fractal, está claro que las sucesivas reducciones del tamaño por un factor de 1/L no acaban nunca, es decir, hay que tomar límites. Esto justifica la elección de la definición de dimensión de homotecia de un fractal, que es la siguiente:

Hemos hecho ε = 1/L.

Donde N(ε) es el número de objetos reducidos similares que aparecen en cada iteración. Así, si queremos calcular la dimensión de homotecia de la alfombra de Sierpinski, obtenemos:

En la primera iteración tenemos 1 cuadrado, en la siguiente 8, en la tercera 64, de ahí el 8^k. Como cada vez reducimos los cuadrados a un tercio de su longitud, 1/ε = L = 3, de ahí el 3^k.

Para terminar, os dejo con el triángulo de Sierpinski. ¡Deja un comentario si has sido capaz de calcular su dimensión de homotecia!

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