¿Dimensión 1 y pico?

Todos tenemos una idea intuitiva del concepto de dimensión, sabiendo que, por ejemplo, una recta tiene dimensión 1, un plano dimensión 2 y, "el espacio", dimensión 3. Si abrimos un poco nuestra mente, incluso podemos aceptar de buena gana espacios cuya dimensión sea mayor que 3 (es decir, 4, 5, o la teoría de cuerdas bosónicas y sus 26 dimensiones), pero siempre son números naturales, sin cifras decimales.

En Matemáticas, a menudo, cuando nos encontramos con una restricción en una teoría, ésta se suprime o se modifica, dando lugar a una nueva teoría (por ejemplo, los números reales no dan respuesta a la raíz de números negativos, pero su extensión a los complejos, sí; o las diferentes geometrías que se obtienen a partir de la euclidiana modificando alguno de sus axiomas o suprimiéndolo). Preguntémonos, pues, si podemos generalizar o modificar la noción de dimensión, de modo que encontremos objetos cuya dimensión no sea entera, sino que pueda ser, por ejemplo, 1'37.

Las muñecas rusas están relacionadas con estos objetos de dimensión no entera.

Pues bien, la respuesta a esta pregunta es rotunda, SI. Existen varias modificaciones de la noción de dimensión, y también existen objetos cuya dimensión (en el nuevo sentido) no es entera, y reciben el nombre de fractales. La noción de fractal es bastante reciente, de principios del siglo XX, y son aquellos objetos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas (ya siga algún patrón o sea irregular). Un ejemplo es la alfombra de Sierpinski:

Contrucción de la alfombra de Sierpinski (el objeto en sí no está en la imagen, sino los 5 primeros términos de la sucesión que "tiende a él").

Ya nos hemos ocupado del objeto, vayamos ahora a por la dimensión. Como ya hemos mencionado, existen varias "modificaciones" del concepto de dimensión, pero aquí expondremos solamente una, la dimensión de homotecia. Supongamos que tenemos un objeto de dimensión euclídea d, y reducimos su tamaño por un factor 1/L (esto es, le aplicamos la homotecia de razón 1/L, de ahí el nombre). Entonces, necesitaremos un número N(L) de objetos reducidos similares para cubrir el objeto original. Es fácil ver que este número es N(L) = L^d. Tomando logaritmos, resulta sencillo despejar de aquí la dimensión d, obteniendo la siguiente expresión:

Pero esta expresión sigue devolviéndonos la dimensión euclídea del objeto considerado (por construcción). Ahora, si el objeto considerado es un fractal, está claro que las sucesivas reducciones del tamaño por un factor de 1/L no acaban nunca, es decir, hay que tomar límites. Esto justifica la elección de la definición de dimensión de homotecia de un fractal, que es la siguiente:

Hemos hecho ε = 1/L.

Donde N(ε) es el número de objetos reducidos similares que aparecen en cada iteración. Así, si queremos calcular la dimensión de homotecia de la alfombra de Sierpinski, obtenemos:

En la primera iteración tenemos 1 cuadrado, en la siguiente 8, en la tercera 64, de ahí el 8^k. Como cada vez reducimos los cuadrados a un tercio de su longitud, 1/ε = L = 3, de ahí el 3^k.

Para terminar, os dejo con el triángulo de Sierpinski. ¡Deja un comentario si has sido capaz de calcular su dimensión de homotecia!

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