Hagamos un trato, ¿el coche o la cabra?

En el exitoso programa de televisión americano 'Let's Make a Deal' ('Hagamos un trato' en español), se proponía un juego de azar conocido como el juego de Monty Hall, debido al nombre de su famoso presentador. Las reglas del juego eran muy sencillas; decidir cuál es la estrategia correcta, no tanto. Se presentaban 3 puertas al concursante, todas cerradas, detrás de las cuales se encontraban dos cabras y un coche. Para empezar, el concursante debía elegir una de las 3 puertas. Una vez hecha la elección, de las dos restantes, el presentador abría la que escondía una cabra (siempre habrá al menos una puerta con cabra que el concursante no haya escogido). Tras esta revelación, se daba al concursante la oportunidad de cambiar su elección por la puerta restante, y el premio era lo que la puerta finalmente escogida escondía. La pregunta es: ¿es mejor cambiar de puerta, quedarse con la que teníamos o da exactamente lo mismo?

Estaremos todos de acuerdo en que, cuando escogemos la puerta al principio, tenemos una probabilidad de 1/3 de que esconda el esperado coche o, lo que es lo mismo, 2/3 de se encuentre detrás de las dos restantes. Entonces el presentador abre una de las que no escogimos, en concreto, la que esconde una cabra. Lo natural es pensar que, ahora, la probabilidad de que el coche se encuentre detrás de nuestra puerta ha cambiado y es exactamente 1/2, ya que solo quedan dos puertas, un coche y una cabra. Siendo así, desde el punto de vista probabilista, daría exactamente lo mismo que cambiáramos nuestra puerta o no.

Pero esto no es cierto, no hemos tenido en cuenta que la elección que hace el presentador está condicionada a la puerta que nosotros escojamos, y que lo que desvele afectará solamente a la probabilidad de las dos puertas que no escogimos, y no a la nuestra. Como hemos dicho al principio del párrafo anterior, nuestra puerta tenía una probabilidad de 1/3 de contener el coche, mientras que las otras dos juntas tienen una probabilidad de 2/3 (1/3 cada una de ellas). Cuando el presentador abre la puerta que escondía una cabra, la probabilidad de que detrás de ella se encuentre el coche pasa de ser 1/3 a ser 0, y ese 1/3 no se reparte entre las otras dos puertas, sino que va a parar directamente a la otra puerta que no escogimos, teniendo así una probabilidad de 2/3 de esconder el coche, a diferencia de la nuestra, que solo tiene 1/3.

Es innegable, pues, que la estrategia correcta es cambiar siempre de puerta (¡a no ser que prefieras una cabra antes que un coche!), pues así tendremos una probabilidad de 2/3 de ganar el coche, mientras que si no lo hacemos, será de 1/3.

Si aún le estás dando vueltas y la cosa no te convence, lo más desengañado es plantearse todas las posibles combinaciones del juego con todos sus finales (ganar el coche o no). El siguiente diagrama nos lo aclara:

Si cambiamos de puerta, ganamos el coche 2 de cada 3 veces. Si no cambiamos, ganamos 1 de cada 3.

Otra forma de convencernos es llevar el juego al extremo, imaginándonos que hay 100 puertas, 99 cabras y un coche. Escogemos una, que tendrá una probabilidad de 1/100 de esconder el coche. Posteriormente, el presentador muestra 98 de las puertas que escondían una cabra. Después de esto, estaremos todos de acuerdo en que la única puerta de las 99 que no escogimos que queda sin abrir seguramente esconda el coche, en concreto, ¡con una probabilidad de 99/100!, mientras que la que escogimos originalmente solo tiene un despreciable 1/100 de probabilidad...

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