El rey, arruinado (la leyenda de Sissa).

Existen muchas historias acerca del ajedrez y su origen. La entrada de hoy está dedicada a una de ellas. Cuenta la leyenda que hace varios siglos, reinaba en la India un poderoso hombre llamado Sheram. Tenía a su disposición todas las comodidades, placeres y riquezas, lo que provocó que nada le resultase atractivo. Entonces, anunció que entregaría cualquier recompensa a aquél que lograra acabar con su desesperación.

Respondiendo al anuncio, un día se presentó en la corte un tal Sissa, quién decía haber inventado un juego que alegraría al soberano, el ajedrez (cuyas reglas no necesitamos conocer para entender la historia). Después de explicar a Sheram en qué consistía el juego, este lo probó y quedó maravillado. Cumpliendo con su palabra, llamó a Sissa y le dijo que pidiera la recompensa que quisiese. Sin vacilar, Sissa pidió al rey que se le entregase un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta... y así sucesivamente. Sheram se quedó sorprendido por la aparentemente modesta petición y accedió.Así, Sheram ordenó que se entregase la recompensa a Sissa, pero esta orden no se pudo cumplir, puesto que ni en todo el reino, ni en todo el planeta Tierra se disponía de la ingente cantidad de trigo que se necesitaba.

Tablero de ajedrez con los granos de trigo correspondientes a las primeras once casillas.

Hagamos el cálculo de los granos de trigo que Sissa pidió. Puesto que un tablero de ajedrez tiene 64 casillas en total, es fácil darse cuenta de que el resultado que buscamos es el que se obtiene al realizar la siguiente suma:

,

que es una suma finita de términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo resultado es el siguiente:

La magnitud de este número escapa a nuestra intuición, por lo que haremos unos cálculos que nos permitan vislumbrar esta exageración. Supongamos, pues, que 1000 granos de trigo pesan 40 gramos. Entonces, 1 grano de trigo pesará 0,04 gramos. Multiplicando el número de granos por el peso de un grano, obtendremos el peso total de la recompensa de Sissa:

Es decir, Sheram necesitaba más de 737 miles de millones de toneladas de trigo para pagar la recompensa de Sissa. Teniendo en cuenta que la estimación de la cosecha mundial de trigo para 2014/2015 es de 697,04 millones de toneladas, Sissa se pasó un poquito XD.

Para terminar, solo una cosa más. En algunas versiones, se añade un final completamente diferente al anterior, que consiste en lo siguiente. Sheram, al darse cuenta de que lo que pedía Sissa era imposible de conseguir, mandó llamar al matemático de la corte para que buscase una solución, y este la encontró. Sheram se ofreció a entregar a Sissa no solo la cantidad de trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, sino la correspondiente a infinitas casillas, es decir, la siguiente suma infinita:

El resultado de esta suma se obtenía (según el rey y su matemático) llamando S a la suma y dándose cuenta de que:

De donde resulta, despejando S, que S = -1. Es decir, al final era Sissa quién debía un grano de trigo a Sheram. Por supuesto, en este razonamiento hay un error. ¡Animo a todo aquél que se de cuenta de cuál es a dejar un comentario!

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Si tratamos S = 1 +2S como una ecuación de variable S, al despejar S estamos suponiendo que S toma valores en un cuerpo K (tanto S como 1+2S serían polinomios del anillo K[x]). En particular, estamos suponiendo que S es una variable real. Pero S es infinito, por lo que no se puede tratar como un número real, luego el razonamiento utilizado no es en absoluto válido.

A menudo se utilizan ejemplos como este para desprestigiar a las Matemáticas, dándoles un falso aire de inexactitud. Nada más lejos de la realidad, las Matemáticas son exactas, la inexactitud que pueda aparecer reside en su utilización errónea.

Gauss, ¡castigado!

Siguiendo en la línea de la entrada del domingo pasado, hoy hablaremos de la famosa historia que protagoniza el matemático Carl Friedrich Gauss. Cuenta la leyenda, que a la edad de 7 años, se encontraba Gauss en clase de aritmética con sus compañeros cuando el profesor les ordenó sumar todos los números del 1 al 100. A todos nos parece un ejercicio fácil de resolver, un tanto pesado, pero fácil, lo que a ninguno (o prácticamente a ninguno) de nosotros se nos hubiera ocurrido a la edad de 7 años en la misma situación es lo que se le ocurrió a este genio.

Lo que hizo Gauss fue pararse a pensar un momento como podría resolver el problema de la manera más eficiente (y elegante) posible. Se dio cuenta de que, si tomaba los números de dos en dos, emparejando el primero con el último, el segundo con el penúltimo..., obtenía siempre la misma cantidad. En efecto, 1+100 = 2+99 = 3+98 = ... = 50+51, siendo esa cantidad constante igual a 101. Como en total eran 100 números a sumar, habría exactamente 50 parejas, con lo que, al final, la solución al problema se obtiene multiplicando 101 por 50, es decir, el resultado es 5050.

Gauss, entonces, había descubierto así (hipotéticamente), el principio de la suma finita de términos de una progresión aritmética. El resultado general para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es la mitad del primer término más el último, multiplicado por el número de términos, es decir:

En nuestro caso, n=100, S_n es la suma que debe calcular Gauss, a₁ = 1 y a_n = 100.

Si te ha gustado deja un comentario y si quieres leer algo más relacionado con este tema, en la entrada '¿Pillará Aquiles a la tortuga?' se resuelve la conocida paradoja de Zenón mediante una suma infinita de términos de una progresión geométrica.

De nuevo, queda demostrado el potencial y la utilidad de las Matemáticas (sí, me repito como un disco rayado, pero quiero que esto quede claro XD).

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Los puentes de Königsberg

Se dice que el conocido problema de los puentes de Königsberg se convirtió en un dolor de cabeza para todo aquél que intentaba resolverlo, hasta que llegó el matemático Leonhard Euler. Como en muchos otros problemas en la vida, el quid de la cuestión era abordarlo desde la más rigurosa matemática. En este caso, la teoría de grafos (es más, la solución matemática que dio Euler al problema se considera como el origen histórico de esta rama de las Matemáticas).

Dicho todo esto, enunciemos el problema. En el siglo XVIII, la antigua ciudad de Königsberg en la Prusia oriental estaba bañada por el río Pregel (actuales Kaliningrado y río Pregolya en Rusia), que dividía a la ciudad en cuatro zonas, las cuales estaban conectadas por siete puentes como se ve en la figura.

Ciudad de Könisberg en la época de Euler.

Pero aún no hemos dicho en qué consiste el problema. Se pretendía encontrar una ruta en la ciudad que recorriese los siete puentes, cruzando cada uno de ellos una sola vez, terminando en el punto de partida. A priori, parece un reto tedioso pero factible, nada más lejos de la realidad. Muchos intentaron encontrar una solución sin tener éxito, por lo que empezó a pensarse que el problema no tenía solución, hasta que llegó Euler y demostró matemáticamente que, en efecto, el problema no tenía solución.

Para llegar a este resultado, Euler desarrolló una teoría llamada teoría de grafos. La idea de grafo es bastante sencilla, consiste en una pareja formada por un conjunto de puntos llamados vértices y otro conjunto formado por parejas de estos vértices llamadas aristas. En la figura podemos ver la representación gráfica de un ejemplo:

Grafo de vértices 'a', 'b', 'c' y 'd' y de aristas las líneas que los unen ('ab', 'bd', 'dc', 'ca', 'ad' y 'bc').

En nuestro problema, los vértices serán las zonas en las que queda dividida la ciudad (que son cuatro) y las aristas los puentes que las unen. De esta forma, obtendríamos un grafo que se puede representar así:

Los vértices 'A', 'B', 'C' y 'D' representan las cuatro zonas y las aristas los puentes.

Una vez traducido el problema a un grafo, basta aplicar los resultados de la teoría de grafos. Un tipo particular de grafos son llamados grafos eulerianos (en referencia a Euler y este problema), que son aquellos grafos en los que se puede encontrar un "recorrido" (no vamos a dar todas las definiciones matemáticas, nos conformamos con nuestra intuición, ¡el que quiera más detalles que deje un comentario!) que contenga todas las aristas del grafo (en nuestro caso, todos los puentes) apareciendo cada una de ellas una sola vez, y terminando en el mismo vértice en el que comienza.

El problema queda reducido, entonces, a si nuestro grafo es euleriano o no. Pero esto es muy sencillo echando mano de la teoría de grafos, en la que un resultado (probado por Euler) dice que si un grafo es euleriano, entonces todo vértice de ese grafo tiene un número par de aristas que "pasan" por él. Puesto que en nuestro grafo esto no se cumple (por ejemplo, el vértice 'D' tiene 3 aristas), no es euleriano, demostrando así que el problema de los puentes de Könisgberg no tiene solución.

Una vez más, las Matemáticas nos muestran su potencial y su gran utilidad (a pesar de lo que piensan la mayoría de los escolares XD). Si te ha gustado, ¡deja un comentario!

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No multipliques tu dinero, ¡podría resultar 0!

Os preguntaréis a qué viene el título de la entrada (y con razón, ¡todos queremos multiplicar nuestro dinero!). De lo que hoy vamos a hablar es de los divisores del 0, es decir, de que dados dos "números" distintos de 0, ¡su producto sea 0!. No sé si recordaréis que se dice que un número, a, es divisor de otro, b, si existe un tercero, c, tal que b = ac (todos ellos naturales), o equivalentemente, diremos que b es múltiplo de a. Por ejemplo, el 2 es divisor del 4 (porque 4 = 2x2), o el 21 del 63 (porque 63 = 21x3).

El 0 y sus peculiaridades...

Pues bien, normalmente no se dice nada más, pero con eso no tendríamos entrada XD. La definición "buena" no se restringe a los números naturales, sino que se da para cualquier anillo (un anillo es un conjunto con dos operaciones que verifican ciertas propiedades, aunque, en realidad, los naturales no forman anillo, para eso deberíamos considerar a los enteros) y exigiendo que c sea distinto de 0 (elemento neutro para la suma), ya que de lo contrario, todos los "números" (en realidad deberíamos decir elementos del anillo) serían divisores del 0. Por ejemplo, para los números naturales, el 1 sería divisor del 0, ya que 0 = 1x0, también el 2, ya que 0 = 2x0, y así sucesivamente.

Está claro que los números que conocemos, con las operaciones que conocemos, no producen estos "fenómenos extraños", sabemos que si tomamos dos números distintos de 0 y los multiplicamos, el resultado no será 0. Para eso habría que hablar de anillos algo menos conocidos como, por ejemplo, los cocientes de ℤ, aunque no nos complicaremos tanto, y trabajaremos con las matrices, que son más conocidas y también nos sirven. En resumen, una matriz es una "caja" de números colocados en filas y columnas, y su producto consiste en la multiplicación de filas por columnas (pincha aquí para más detalles).

Ejemplo de producto de dos matrices 3x3 (3 filas y 3 columnas).

En el anillo de las matrices, el elemento neutro para la suma (es decir, el 0) es la matriz que está hecha totalmente de 0's. Dicho esto, quedándonos con las matrices 2x2 (2 filas y 2 columnas), podemos considerar las matrices con un 1 en la primera y en la última posición, es decir, estas:

que son distintas de 0. Pero, y ahora viene lo bueno, si multiplicamos A y B, ¡el resultado será 0!, veámoslo:

De nuevo, dejando a un lado lo enredoso que pueda parecer para algunos este post (sí, lo admito XD), las Matemáticas nos sorprenden, desafiando una vez más a nuestra intuición.

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