¡Las rectas paralelas se cortan!

Desde que éramos muy pequeños, nos han enseñado que las rectas paralelas son aquellas que no tienen ningún punto en común, es decir, que no se cortan y, en cierto modo, así es.

Dos rectas paralelas, r y s.

Como muchos sabréis, también se nos decía al principio que la ecuación x²+1=0 no tiene solución para después decirnos que sí que tiene (además dos), i y -i (i se define como la raíz cuadrada de -1). Se introducían así los números complejos, que son otros tan válidos como los manejados hasta entonces, los reales. Pues bien, no es desbaratado, entonces, pensar que haya diferentes tipos de geometrías, unas en las que las rectas paralelas no se cortan y otras en las que sí.
La geometría que nos enseñan en la educación primaria y secundaria es la euclídea (su nombre se debe al matemático griego Euclides), y en ella las rectas paralelas no se cortan. Pero existen otro tipo de geometrías, entre ellas, la geometría proyectiva, de la que vamos a hablar.
El nombre de geometría proyectiva viene de en lo que consiste grosso modo, en proyectar. Para que nos hagamos una idea, un espacio proyectivo de dimensión 1 (es decir, la recta proyectiva) se consigue al trazar una recta horizontal (en realidad serviría cualquier otra) en el plano e identificar cada recta que pasa por el origen con su punto de corte en la horizontal que hemos trazado:

La recta r se identifica con el punto A

Es fácil ver, entonces, que cada recta que pasa por el origen se identifica con un punto de la recta h (ver imagen), salvo la única recta horizontal que pasa por el origen (que es paralela a nuestra recta h), que no corta a h en ningún punto que podamos ver, pero sí en el infinito. Este punto, entonces, es un punto más de nuestra recta proyectiva, al que llamaremos punto del infinito.
De la misma forma se construye el plano proyectivo (identificando las rectas que pasan por el origen con sus cortes a un plano horizontal fijado), y se obtiene, para este caso, no un punto del infinito, sino una recta del infinito, lugar en el cual se cortarán todas las rectas "paralelas" del plano proyectivo.
Por supuesto, esta construcción no es nada rigurosa, por lo que aquí no he probado nada, pero sí existe una definición rigurosa de espacio proyectivo de la que se deduce con facilidad (una vez conocidas las herramientas matemáticas necesarias) la propiedad a la que está dedicado este post: dadas dos rectas cualesquiera, estas siempre se cortan.

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