Cuando los fundamentos se tambalean...

Siempre me ha gustado presumir del grado de perfección y armonía que sólo las matemáticas son capaces de alcanzar, pero de vez en cuando viene bien hacer algo de crítica.

En las sucesivas partes de "Rigor Mates" (I, II, III y IV) hablamos de la obsesión por fundamentar las Matemáticas con el más absoluto rigor, surgida en el S.XIX. Pues bien, no mucho más tarde, surgen varios problemas que hacen que estos fundamentos se tambaleen.

El primero de ellos, y uno de los más conocidos, es la paradoja de Cantor. Hacia 1885, Georg Cantor publicó su famosa teoría de conjuntos, en la que, entre otras cosas, se considera por primera vez que existen diferentes tamaños de infinito (si quieres saber más sobre este tema, puedes leer "Hasta el infinito...¡y más allá! (II)"). Poco después, en 1899, él mismo se encuentra con una de las primeras contradicciones. En su teoría de conjuntos, Cantor prueba que, dado un conjunto C, el cardinal de las partes de C, P(C) (conjunto formado por todos los subconjuntos de C), es estrictamente mayor que el cardinal de C, |P(C)|>|C| (es decir, P(C) tiene más elementos que C), hasta ahí bien. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos, M. Entonces, por lo que acabamos de decir, |P(M)|>|M|; pero, por otro lado, P(M) es también un conjunto, luego P(M)⊂M (P(M) está contenido en M), de donde se deduce que |P(M)|≤|M|. Por tanto, se verifican simultáneamente |P(M)|>|M| y |P(M)|≤|M|, ¡lo cual es un disparate!

Otra paradoja famosa es la de Russell, que fue formulada en 1901, de la cual oí hablar por primera vez en el aula de filosofía de las clases de Bachillerato. La forma en la que nos la enunció el profesor es ésta: "la clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas, pertenece a sí misma si, y sólo si, no pertenece a sí misma". Más abajo la tratamos desde un punto de vista matemático, siempre más ordenado y claro (o eso pienso yo XD), pero menos elegante, así que intenta darle unas vueltas antes de continuar leyendo.

Epiménides, el cretense, afirma que todos los cretenses mienten. Si miente, entonces dice la verdad; y si dice la verdad, entonces miente.

En términos matemáticos, consideremos el conjunto N de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, es decir

Así, habrá dos posibilidades, que N no pertenezca a N o, que N pertenezca a N, analicemos ambos casos:

• Si N no pertenece a N, entonces, por la definición de N, N sí pertenece a N, ¡disparate!
• Si N pertenece a N, de nuevo, por la definición de N, N no pertenece a N, ¡otro disparate!

Por tanto, ¡en todo caso se cumple simultáneamente que N pertenece a N y que N no pertenece a N!

Además de estas paradojas, existen otras muchas (unas tienen que ver con las matemáticas y otras no), y os animo a que nos contéis en los comentarios aquellas que conozcáis, yo os dejo con otra bastante curiosa ;)

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