Del álgebra a la co-álgebra: un camino de Dualidad

La intención de la entrada de hoy es mostrar que las matemáticas ofrecen siempre nuevas perspectivas de lo que era archiconocido obteniendo, sin embargo, un nuevo mundo, nuevos objetos y nueva filosofía.

La dualidad. No haremos aquí un tratado filosófico sobre lo que pueda tratar la "dualidad", pero sí podemos decir que cuando hablamos de la dualidad nos referimos a conceptos complementarios en algún sentido concreto permitiendo explicar lo que sucede en ese plano de la vida. Por ejemplo, el "bien" y el "mal" son conceptos duales y la interacción entre ellos permite desarrollar una teoría sobre la ética, la moral etc. El "alma" y el "cuerpo" también son conceptos duales que permiten en este caso desarrollar una teoría sobre la existencia del ser humano. "Ideas" y "sentidos"; "Dios" y "materia" y muchos otros.

En matemáticas también existe la noción de "dualidad". Aunque aquí no hay una manera canónica de decir qué se entiende por dualidad, sí podemos reconocerla cuando la vemos en cada situación particular. Por ejemplo, cuando "acoplamos" elementos de una cierta estructura para obtener un número (pensemos en la integral del producto de dos funciones; en este caso acoplamos dos funciones por medio de una integral y obtenemos un número). O por ejemplo cuando se obtienen isomorfismos entre objetos siguiendo alguna simetría (dualidad de Poincaré).

Hoy quiero mostraros cómo se puede establecer un camino entre el álgebra y la geometría. Los objetos que obtengamos al final del camino serán duales: uno representando el álgebra y el otro la geometría. ¿Véis? aquí hay algo a lo que llamar "dualidad", pero no sabemos muy bien cómo definirlo...

Consideremos un cuerpo k (pensad en los números reales) y A una k-álgebra (pensad en los polinomios con coeficientes reales), esto quiere decir que en A disponemos de una manera de sumar y multiplicar sus elementos en entre sí verificando algunos axiomas naturales.

En particular, disponemos de una multiplicación asociativa, es decir, de una aplicación, o sea, una regla que asigna a cada par de elementos de A otro elemento de A, a saber el producto:

m: AxA --------> A

tal que mº(mxid)=mº(idxm), es decir, que a(bc)=(ab)c, para todos a,b,c en A.

Igualmente disponemos de un elemento identidad que denotamos 1_A y que verifica por definición 1_Aa=a=a1_A para todo a en A.

También disponemos de un paso al inverso 

i: A -------> A

es decir, la regla que asocia a cada elemento (invertible se entiende) su inverso.

Hasta aquí no nos hemos salido del plano algebraico.

El objeto dual que construiremos se llamará "co-álgebra" y para ver porqué dicho objeto se sitúa dentro de la geometría basta con tomar el conjunto de las funciones de A, o sea, C(A); que es por definición el conjunto de aplicacions del tipo A ------> k. 

Es muy fácil establecer ya la primera dualidad que aparece en juego: ¡¡la flecha de la multiplicaión m se invierte!! y, por tanto, obtenemos en este caso una aplicación del tipo:

m^{^} : C(A) ------> C(AxA)

Ahora, el elemento unidad de C(A) no es otra cosa que la función constante e igual a 1 y que la denotaremos por 1_C(A) : A -----> k.

Pues bien, esta construcción particular - tomando las funciones - podemos ahora (como buenos matemáticos que somos) extrapolarla a una definición más general: una co-álgebra sobre un cuerpo k es un k-espacio vectorial C equipado con dos aplicaciones:

Δ : C ------> CxC (análoga a la aplicación m^{^})
ε : C------> k (análoga a la función 1_C(A))

que se llaman co-multiplicación y co-unidad, respectivamente (e imponiendo, claro está, ciertos axiomas naturales imitando el caso de las álgebras).

Si además admitimos que nuestra co-álgebra C posee también una estructura de álgebra (con una cierta multiplicación y una cierta unidad), entonces diremos que C es una bi-álgebra.

¿Qué pasa con el paso al inverso i del álgebra? Si sobre una bi-álgebra C exigimos la existencia de una aplicación 

S: C------> C (análoga a la aplicación i)

(verificando los axiomas pertinentes), entonces C se llama álgebra de Hopf y una tal aplicación S se llama antípoda de C.

Et voilà !! Hemos conseguido construir nuestro objeto dual partiendo del álgebra pura y llegando a una interpretación geométrica, por dualidad, del objeto obtenido al final de nuestro camino!

Observamos por lo tanto que para nosotros la geometría viene representada por un álgebra de funciones y, efectivamente, esto ya lo estableció Grothendieck con sus esquemas... La idea de que la geometría venga representada a su vez por otro tipo de álgebra permite, como decíamos al comienzo, ampliar la perspectiva clásica de la geometría obteniendo teorías muy interesantes: en la geometría clásica (según la motivación de arriba) el álgebra en cuestión son las funciones del espacio (ya sean continuas, diferenciables, holomorfas); si ahora damos un paso de abstracción y admitimos un álgebra de Hopf asociada a una cierta geometría, obtemos una nueva manera de entender la geometría... Os dejo reflexionar sobre esta cuestión.

Para terminar un último dato: en un anillo en general podemos exigir o no la propriedad de conmutatividad. Pues bien, en una bi-álgebra en general (luego también en un álgebra de Hopf) podemos exigir o no la conmutatividad de C en tanto que álgebra y la co-conmutatividad de C en tanto que co-álgebra. Resulta que no es ¡nada fácil! encontrar un álgebra de Hopf que no sea NI conmutativa NI no co-conmutativa... estos ejemplos son los que se llaman actualmente "grupos cuánticos" y la geometría que representan son la "geometría cuántica" o también llamada "geometría no conmutativa".

Y hasta aquí puedo leer... dejo el suspense para una posible próxima entrada.

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