Sierpinski: ¡los moyennables vuelven a la carga!

Hoy presentamos una paradoja similar a la de Banach-Tarski de la que ya hablamos en una entrada anterior: la paradoja de Sierpinski. 

Primero refresquemos un poco la memoria: la paradoja de Banach-Tarski nos asegura que podemos descomponer la esfera en pequeños trocitos de modo que al reordenarlos de cierta manera obtenemos 2 esferas iguales a la original. Decíamos que esto se explicaba matemáticamente gracias a la propiedad del grupo de isometrías de R³ de no ser "moyennable".

Recordemos que "un conjunto es paradoxal cuando es posible construir una partición del mismo de manera que por medio de alguna transformación de estos trocitos (utilizando la acción de algún grupo) podamos obtener todo el conjunto en su totalidad. Resulta que un grupo es moyennable sii no es un conjunto paradoxal."

Introducimos ahora una nueva noción: "ser super-moyennable". Un grupo G es super-moyennable sii toda parte no vacía de G no es paradoxal.

A la vista de estas definiciones está claro que "super-moyennable => moyennable" o lo que es lo mismo "no moyennable => no super-moyennable".

La pregunta es: ¿existe un grupo moyennable que no sea super-moyennable ? Con tanta palabreja nos perdemos en los razonamientos, pero si nos paramos a pensar en las definiciones veremos cómo esta pregunta revela nuestra paradoja. En efecto, decir que G sea moyennable significa que él NO es paradoxal, es decir, no podemos obtener copias suyas a partir de particiones y reordenamientos. Decir que NO sea super-moyennable es decir que G admita una parte que SÍ sea paradoxal.

Luego la pregunta es: ¿un conjunto que no sea paradoxal admite una parte paradoxal? A priori la respuesta es 'no' puesto que las partes del conjunto no se diferencian tanto del conjunto en sí mismo como para poder encontrar una de la que poder hacer copias al estilo de Banach-Tarski. Ahora bien, la paradoja de Sierpinski es la que nos da sin embargo una respuesta afirmativa y de hecho el ejemplo, un poco astucioso, se puede construir de forma elegante y explícita como se muestra a continuación.

Vamos a tomar como conjunto el plano euclídeo R² y como grupo de transformaciones el grupo de los desplazamientos de R² (es decir, las rotaciones y las traslaciones). Se demuestra que este grupo es moyennable y por tanto R² no es paradoxal. Vamos a exhibir sin embargo una parte paradoxal de R², lo cual demuestra que el grupo de desplazamientos de R² no es super-moyennable dando respuesta a la pregunta planteada.

¡Allá vamos!:

En virtud del teorema de Hermite-Lindemann (o Lindemann-Weirstrass), sabemos que si α es un número real, entonces u:=e^iα es un número (complejo) trascendente sobre los racionales (es decir, que no es raíz de ningún polinomio). La parte de R² buscada la llamaremos S y es precisamente el conjunto de los polinomios en la variable u y de coeficientes naturales, es decir, 

S:=N[u]

(nota para los "rigurosos": S se considera un subcojunto de R² identificando R² con el plano de los números complejos C)

A continuación, debemos construir la partición de nuestro conjunto S con el objetivo de demostrar que es paradoxal. Así, descomponemos S=A ∪ B donde

• A:=polinomios en u con coeficientes naturales y SIN término constante.
• B:=polinomios en u con coeficientes naturales y con término constante distinto de 0.

Ahora el truco está en hacer los desplazamientos adecuados de A y B para que cada uno de ellos nos permita reconstruir por sí mismos el conjunto entero (como explicamos en el caso de la esfera). Estos desplazamientos son los siguientes:

• rotación de ángulo -α, es decir, multiplicar por u^-1. Llamemos r a este desplazamiento.
• traslación por -1, es decir, restar -1. Llamemos t a este desplazamiento.

Según la elección de nuestros trocitos A y B es fácil darse cuenta de que

r(A)=S y t(B)=S 

Además r(A) y t(B) ¡¡siguen siendo disjuntos!! (¿por qué?...) Esto significa exactamente que el conjunto S de R² ES PARADOXAL, ¡como queríamos demostrar!; bueno como quería demostrar Sierpinski...

Os animo a que escribáis en los comentarios el detalle de los cálculos r(A)=S y t(B)=S. Por cierto, ¿para qué necesitamos que la variable 'u' de nuestros polinomios sea un número trascendente?...

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