"Rigor Mates", parte I: Los números naturales.

Los números naturales aparecen como respuesta a la necesidad humana de contar. Su descubrimiento no es, obviamente, debido a un solo hombre en determinado momento, sino que ha sido un proceso que se ha ido desarrollando gradualmente durante miles de años, sí, miles, desde hace alrededor de 400000 años, es decir, en época tan temprana como el descubrimiento del fuego.

Los números naturales son los que se utilizan para contar. En la imagen pueden verse 6 manzanas.

Al contrario que ocurre con el lenguaje y la escritura (lo más aceptado actualmente es que primero apareció el lenguaje y, después, la escritura), se piensa que los signos para representar números (naturales) fueron anteriores a las palabras que los designaban, por el mero hecho de que es más sencillo contar muescas en un palo que tener la capacidad de abstracción necesaria para pensar en un número por sí solo, cosa que es necesaria para darle un nombre. Esta dificultad aún aparece hoy en día en las aulas de los más pequeños; un niño entiende perfectamente que si tiene una manzana y más tarde le dan dos, entonces al final tiene 3 manzanas, pero ya no entiende de forma tan sencilla que 1+2=3. Por su cabeza aparecen preguntas como: ¿qué es sumar?, ¿qué estoy sumando?(una vez conocida y entendida la respuesta a la primera), ¿cómo voy a sumar números que no se refieren a cosas?(sí, 1+2=3, pero...¿3 qué, 3 manzanas, 3 peras, 3 euros...?), etc. Pero pasaron los años, y los siglos, hasta llegar al siglo XIX, en el cual los números naturales eran sobradamente conocidos, así como sus propiedades.

Me he parado en este siglo porque es precisamente cuando aparece una nueva forma de hacer Matemáticas. En concreto, aparece una autocrítica como nunca antes la hubo, que da lugar al rigor matemático actual (el rigor matemático es muy antiguo, pero no en la forma tan "puntillosa", exacta y perfecta como la actual). Se pone en duda, pues, todo lo conocido hasta entonces. Para resolver este problema, se hizo necesario revisar todos los resultados, asentándolos sobre una firme base y avanzando con el más absoluto rigor. Una vez dicho todo esto, vayamos a lo nuestro, los números naturales, pero antes veamos un ejemplo de lo que NO sería rigor matemático:

Si escribimos pikachu como πkch(u), siendo ch(u) el coseno hiperbólico de u, al derivar obtenemos πksh(u), siendo sh(u) el seno hiperbólico de u, que se lee "Pikashu", el Picachu andaluz.

Todos sabemos cuáles son los números naturales, pero como ya hemos dicho, es necesario dar una definición exacta de lo que son. Existe más de una manera de construir de forma rigurosa el conjunto de los números naturales, que denotaremos por ℕ, pero aquí vamos a hablar de los axiomas de Peano, que son los siguientes:

• El número 0 es un número natural, por lo tanto, el conjunto ℕ no es vacío.
• Por cada número natural, hay otro, llamado siguiente.
• No existe ningún número natural cuyo siguiente sea el 0.
• Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces ellos mismos también son iguales.
• Si un subconjunto A de ℕ contiene al 0 y el siguiente de cada elemento de A está en A, encontes A es igual a ℕ.

En muchas ocasiones, no se considera al 0 como un número natural; para estos casos, los axiomas pueden enunciarse de forma análoga.

Tomando estas afirmaciones como ciertas, se deducen de forma sistemática y lógica todas las propiedades de los números naturales que se conocen. Aunque parezcan triviales, estos axiomas son muy importantes para desarrollar rigurosamente toda la teoría matemática que tiene que ver con los números naturales, que es prácticamente toda.

En la próxima entrega de "Rigor Mates" expondremos como se realiza la construcción de los números enteros, ¡no te la pierdas!

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¿Dimensión 1 y pico?

Todos tenemos una idea intuitiva del concepto de dimensión, sabiendo que, por ejemplo, una recta tiene dimensión 1, un plano dimensión 2 y, "el espacio", dimensión 3. Si abrimos un poco nuestra mente, incluso podemos aceptar de buena gana espacios cuya dimensión sea mayor que 3 (es decir, 4, 5, o la teoría de cuerdas bosónicas y sus 26 dimensiones), pero siempre son números naturales, sin cifras decimales.

En Matemáticas, a menudo, cuando nos encontramos con una restricción en una teoría, ésta se suprime o se modifica, dando lugar a una nueva teoría (por ejemplo, los números reales no dan respuesta a la raíz de números negativos, pero su extensión a los complejos, sí; o las diferentes geometrías que se obtienen a partir de la euclidiana modificando alguno de sus axiomas o suprimiéndolo). Preguntémonos, pues, si podemos generalizar o modificar la noción de dimensión, de modo que encontremos objetos cuya dimensión no sea entera, sino que pueda ser, por ejemplo, 1'37.

Las muñecas rusas están relacionadas con estos objetos de dimensión no entera.

Pues bien, la respuesta a esta pregunta es rotunda, SI. Existen varias modificaciones de la noción de dimensión, y también existen objetos cuya dimensión (en el nuevo sentido) no es entera, y reciben el nombre de fractales. La noción de fractal es bastante reciente, de principios del siglo XX, y son aquellos objetos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas (ya siga algún patrón o sea irregular). Un ejemplo es la alfombra de Sierpinski:

Contrucción de la alfombra de Sierpinski (el objeto en sí no está en la imagen, sino los 5 primeros términos de la sucesión que "tiende a él").

Ya nos hemos ocupado del objeto, vayamos ahora a por la dimensión. Como ya hemos mencionado, existen varias "modificaciones" del concepto de dimensión, pero aquí expondremos solamente una, la dimensión de homotecia. Supongamos que tenemos un objeto de dimensión euclídea d, y reducimos su tamaño por un factor 1/L (esto es, le aplicamos la homotecia de razón 1/L, de ahí el nombre). Entonces, necesitaremos un número N(L) de objetos reducidos similares para cubrir el objeto original. Es fácil ver que este número es N(L) = L^d. Tomando logaritmos, resulta sencillo despejar de aquí la dimensión d, obteniendo la siguiente expresión:

Pero esta expresión sigue devolviéndonos la dimensión euclídea del objeto considerado (por construcción). Ahora, si el objeto considerado es un fractal, está claro que las sucesivas reducciones del tamaño por un factor de 1/L no acaban nunca, es decir, hay que tomar límites. Esto justifica la elección de la definición de dimensión de homotecia de un fractal, que es la siguiente:

Hemos hecho ε = 1/L.

Donde N(ε) es el número de objetos reducidos similares que aparecen en cada iteración. Así, si queremos calcular la dimensión de homotecia de la alfombra de Sierpinski, obtenemos:

En la primera iteración tenemos 1 cuadrado, en la siguiente 8, en la tercera 64, de ahí el 8^k. Como cada vez reducimos los cuadrados a un tercio de su longitud, 1/ε = L = 3, de ahí el 3^k.

Para terminar, os dejo con el triángulo de Sierpinski. ¡Deja un comentario si has sido capaz de calcular su dimensión de homotecia!

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Hagamos un trato, ¿el coche o la cabra?

En el exitoso programa de televisión americano 'Let's Make a Deal' ('Hagamos un trato' en español), se proponía un juego de azar conocido como el juego de Monty Hall, debido al nombre de su famoso presentador. Las reglas del juego eran muy sencillas; decidir cuál es la estrategia correcta, no tanto. Se presentaban 3 puertas al concursante, todas cerradas, detrás de las cuales se encontraban dos cabras y un coche. Para empezar, el concursante debía elegir una de las 3 puertas. Una vez hecha la elección, de las dos restantes, el presentador abría la que escondía una cabra (siempre habrá al menos una puerta con cabra que el concursante no haya escogido). Tras esta revelación, se daba al concursante la oportunidad de cambiar su elección por la puerta restante, y el premio era lo que la puerta finalmente escogida escondía. La pregunta es: ¿es mejor cambiar de puerta, quedarse con la que teníamos o da exactamente lo mismo?

Estaremos todos de acuerdo en que, cuando escogemos la puerta al principio, tenemos una probabilidad de 1/3 de que esconda el esperado coche o, lo que es lo mismo, 2/3 de se encuentre detrás de las dos restantes. Entonces el presentador abre una de las que no escogimos, en concreto, la que esconde una cabra. Lo natural es pensar que, ahora, la probabilidad de que el coche se encuentre detrás de nuestra puerta ha cambiado y es exactamente 1/2, ya que solo quedan dos puertas, un coche y una cabra. Siendo así, desde el punto de vista probabilista, daría exactamente lo mismo que cambiáramos nuestra puerta o no.

Pero esto no es cierto, no hemos tenido en cuenta que la elección que hace el presentador está condicionada a la puerta que nosotros escojamos, y que lo que desvele afectará solamente a la probabilidad de las dos puertas que no escogimos, y no a la nuestra. Como hemos dicho al principio del párrafo anterior, nuestra puerta tenía una probabilidad de 1/3 de contener el coche, mientras que las otras dos juntas tienen una probabilidad de 2/3 (1/3 cada una de ellas). Cuando el presentador abre la puerta que escondía una cabra, la probabilidad de que detrás de ella se encuentre el coche pasa de ser 1/3 a ser 0, y ese 1/3 no se reparte entre las otras dos puertas, sino que va a parar directamente a la otra puerta que no escogimos, teniendo así una probabilidad de 2/3 de esconder el coche, a diferencia de la nuestra, que solo tiene 1/3.

Es innegable, pues, que la estrategia correcta es cambiar siempre de puerta (¡a no ser que prefieras una cabra antes que un coche!), pues así tendremos una probabilidad de 2/3 de ganar el coche, mientras que si no lo hacemos, será de 1/3.

Si aún le estás dando vueltas y la cosa no te convence, lo más desengañado es plantearse todas las posibles combinaciones del juego con todos sus finales (ganar el coche o no). El siguiente diagrama nos lo aclara:

Si cambiamos de puerta, ganamos el coche 2 de cada 3 veces. Si no cambiamos, ganamos 1 de cada 3.

Otra forma de convencernos es llevar el juego al extremo, imaginándonos que hay 100 puertas, 99 cabras y un coche. Escogemos una, que tendrá una probabilidad de 1/100 de esconder el coche. Posteriormente, el presentador muestra 98 de las puertas que escondían una cabra. Después de esto, estaremos todos de acuerdo en que la única puerta de las 99 que no escogimos que queda sin abrir seguramente esconda el coche, en concreto, ¡con una probabilidad de 99/100!, mientras que la que escogimos originalmente solo tiene un despreciable 1/100 de probabilidad...

Si te he convencido deja un comentario y, si no lo he hecho, ¡también!

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La paradoja del cumpleaños. ¿Qué apostamos?

¿Qué responderíais si os preguntase que cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de 41? Seguramente, un número no muy alto, como mucho 0'15 (un 15%). Sería interesante que escribierais un número antes de terminar de leer el post y al final, si os ha sorprendido, dejéis un comentario. La llamada paradoja del cumpleaños es un problema probabilístico, tratado de paradoja por la razón de que el resultado correcto contradice por completo a nuestra intuición.

Distribución normal y distribución paranormal XD

El enunciado genérico sería el siguiente: ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de n personas? Supondremos que solo hay 365 días posibles en los que cumplir años (sin años bisiestos ni mayores complicaciones) y que todos son equiprobables (misma probabilidad).

Por supuesto, si n>365 la respuesta a nuestra pregunta es 100%, por lo que a partir de ahora supondremos n≤365. La manera más sencilla de resolver este problema es calcular la probabilidad del suceso contrario, es decir, la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día en un grupo de n personas. A partir de este dato, obtendríamos nuestro resultado restándoselo a 1 (al 100%). Llamaremos a nuestro suceso A y, a nuestro suceso contrario, Ā. La solución del problema sería, entonces, P(A) = 1 - P(Ā). Calculemos, pues, P(Ā).

Puesto que trabajamos con sucesos equiprobables, estamos en condiciones de utilizar la regla de Laplace

La probabilidad del suceso B es el nº de casos posibles en los que ocurre B entre el número de casos posibles.

Nuestro problema se reduce, pues, a calcular el número de casos posibles en los que nadie del grupo de n personas cumpla años el mismo día que otra persona del mismo grupo, y el número de combinaciones posibles en las que pueden nacer n personas.

El segundo número es muy sencillo de calcular, la primera persona del grupo tendrá 365 posibilidades para haber nacido un día u otro, y lo mismo para las demás. Por tanto, si el grupo fuese de 2 personas, tendríamos para cada posibilidad del 1º, 365 del 2º, luego, en total, 365x365 = 365². Es fácil ver que, para n personas, las posibilidades son 365ⁿ.

Para el otro número, se razona de un modo parecido. La primera persona tendrá 365 posibilidades para haber nacido (igual que en caso anterior), pero la segunda ya solo tendrá 364 (todos los días del año menos en el que nació el primero, recordad que queremos que no cumplan años el mismo día), la tercera 363, y así sucesivamente, hasta la número n, que tendrá 365-n+1 posibilidades. Se deduce, por tanto, que el número de combinaciones favorables será 365x364x...x(365-n+1), es decir,

n! se lee "n factorial" y vale n! = nx(n-1)x(n-2)x...x2x1.

Aplicando la regla de Laplace, concluimos que la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día que otra persona en un grupo de n personas es:

Por tanto, la respuesta a nuestra pregunta sería finalmente:

Ahora, si queremos saber la respuesta para un grupo de 23 personas, solo tenemos que hacer n=23 en la fórmula de arriba, obteniendo una probabilidad de aproximadamente 0'507, es decir, ¡un 50'7%!. Pero ahí no queda la cosa, si el grupo es un poco más numeroso, pongamos de 41 personas, ¡la probabilidad es de más del 90,3%! Hala, ya podéis ganaros unas cervezas apostando con vuestros amigos XD.

¿Te ha sorprendido el resultado? ¡Deja un comentario con el número que escribiste al principio!

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